Ciao. Definisco una chiusura \( \Gamma \) di un insieme parzialmente ordinato \( \left(S,{\leqq}\right) \) come una funzione unaria su \( S \) 1) che rispetta l'ordine; 2) idempotente; 3) tale che \( x\leqq\operatorname\Gamma x \), per ogni \( x\in S \).
Voglio provare che, se \( S \) è un reticolo completo, l'insieme degli elementi che sono chiusi rispetto a \( {\operatorname\Gamma} \), ossia gli \( x\in S \) tali che \( \operatorname\Gamma x=x \), formano a loro volta un reticolo completo. (Questo prova in modo molto pulito che, ad esempio, i sottospazi di uno spazio vettoriale \( V \) sono un reticolo completo, dove i meet sono l'intersezioni, e i join le somme).
Ciò significa dimostrare che \( C=\left\{x\in S:\operatorname\Gamma x= x\right\} \) è chiuso per meet e join di sottoinsiemi. Dimostrazione. Sia \( A \) un sottoinsieme di \( C \). Esiste in \( S \) il suo meet \( \bigwedge A=\bigwedge_{a\in A}a \), ed è \( \bigwedge A\leqq a \) per ogni \( a\in A \). La chiusura rispetta l'ordine, dunque tale disuguaglianza ancora regge, sostituendo a \( \bigwedge A \) sua sua chiusura. Per le proprietà dell'estremo inferiore, sarà \( \operatorname{\Gamma}\bigwedge A\leqq\bigwedge A \), e (una parte del)la tesi discende da 1) 3).
Ora, posso provare la stessa cosa per i join usando la dualità? Alla fine, quello che ho provato è una cosa valida per ogni "meet semilattice" completo; e quindi dovrebbe esserlo anche per il suo \( \mathrm{op} \). Vero?