I chiusi rispetto ad una chiusura sono un reticolo completo

Messaggioda marco2132k » 19/08/2019, 15:56

Ciao. Definisco una chiusura \( \Gamma \) di un insieme parzialmente ordinato \( \left(S,{\leqq}\right) \) come una funzione unaria su \( S \) 1) che rispetta l'ordine; 2) idempotente; 3) tale che \( x\leqq\operatorname\Gamma x \), per ogni \( x\in S \).

Voglio provare che, se \( S \) è un reticolo completo, l'insieme degli elementi che sono chiusi rispetto a \( {\operatorname\Gamma} \), ossia gli \( x\in S \) tali che \( \operatorname\Gamma x=x \), formano a loro volta un reticolo completo. (Questo prova in modo molto pulito che, ad esempio, i sottospazi di uno spazio vettoriale \( V \) sono un reticolo completo, dove i meet sono l'intersezioni, e i join le somme).

Ciò significa dimostrare che \( C=\left\{x\in S:\operatorname\Gamma x= x\right\} \) è chiuso per meet e join di sottoinsiemi. Dimostrazione. Sia \( A \) un sottoinsieme di \( C \). Esiste in \( S \) il suo meet \( \bigwedge A=\bigwedge_{a\in A}a \), ed è \( \bigwedge A\leqq a \) per ogni \( a\in A \). La chiusura rispetta l'ordine, dunque tale disuguaglianza ancora regge, sostituendo a \( \bigwedge A \) sua sua chiusura. Per le proprietà dell'estremo inferiore, sarà \( \operatorname{\Gamma}\bigwedge A\leqq\bigwedge A \), e (una parte del)la tesi discende da 1) 3).

Ora, posso provare la stessa cosa per i join usando la dualità? Alla fine, quello che ho provato è una cosa valida per ogni "meet semilattice" completo; e quindi dovrebbe esserlo anche per il suo \( \mathrm{op} \). Vero?
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Re: I chiusi rispetto ad una chiusura sono un reticolo completo

Messaggioda caulacau » 19/08/2019, 21:09

Chiama \(\eta_x : x \le \Gamma x\); allora \(\eta_{\bigvee a}\) testimonia il fatto che \( \bigvee a \le \Gamma(\bigvee a)\). Devi dimostrare l'altra disuguaglianza; del resto in un reticolo si ha \(x \le y\) se e solo se \(x\vee y = y\). Se qui \(x = \Gamma(\bigvee a)\) e \(y = \bigvee a\), allora
\[\textstyle
\bigvee a \le \Gamma\big(\bigvee a\big)\lor \big(\bigvee a\big) = \bigvee \big(\Gamma \big(\bigvee a\big)\lor a\big) \le \bigvee (\bigvee a\lor a) = \bigvee a \qquad\square
\]
PS: \(\Gamma\) è una monade idempotente su \(S\), guardato come una categoria; è ora un fatto generale che

0. La categoria di Kleisli di \(\Gamma\), ossia gli elementi di \(S\) che sono \(\Gamma\)-chiusi, sia riflessiva dentro \(S\);
1. Il funtore dimenticante \(U : \text{Kl}(\Gamma) \to S\) crei i limiti;
2. La categoria delle algebre ammetta tanti limiti quanti ne ammette \(S\) (e quindi \( \text{Kl}(\Gamma)\) ammetta meet arbitrari), e tanti colimiti quanti ne preserva \(U\) (e quindi ammetta join arbitrari).
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Re: I chiusi rispetto ad una chiusura sono un reticolo completo

Messaggioda marco2132k » 20/08/2019, 14:21

Grazie per la risposta.

caulacau ha scritto:Devi dimostrare l'altra disuguaglianza; del resto in un reticolo si ha \( x \le y \) se e solo se \( x\vee y = y \). Se qui \( x = \Gamma(\bigvee a) \) e \( y = \bigvee a \), allora
\[ \textstyle \bigvee a \le \Gamma\big(\bigvee a\big)\lor \big(\bigvee a\big) = \bigvee \big(\Gamma \big(\bigvee a\big)\lor a\big) \le \bigvee (\bigvee a\lor a) = \bigvee a \qquad\square \]
Che cosa intendi con \( \bigvee a=\bigvee\left(\Gamma\left(\bigvee a\right)\vee a\right) \)? È il join \( \underline{\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)}=\bigvee_{a\in A}\left(\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)\vee a\right) \)? Perché se è un typo ci sono.

Mi piacerebbe capire quanto avesse senso concludere questa cosa qui sopra come ora scrivo, per dualità una volta provata per i meet. Un \( \left(S,{\leqq}\right) \) è un meet-semireticolo se e solo se il suo duale è un join-semireticolo. Una proposizione tipo (in seguito, "\( \Phi \)") "per tutti i meet-semireticoli completi, i chiusi di \( \Gamma \) sono un meet-semireticolo completo" dicono sia logicamente equivalente alla sua duale \( \Phi^{\mathrm{op}} \). Allora, dato che un reticolo è un (insieme parzialmente ordinato che) è contemporaneamente un meet-semireticolo e un join-semireticolo, valgono in esso indipendentemente \( \Phi \) e \( \Phi^{\mathrm{op}} \).

Non mi è proprio chiarissimo quel punto, qui. Posso chiedertene una dimostrazione, o qualche suggerimento in merito?

Per quanto riguarda il post scriptum. Aspetta un attimo, che (inizi e) finisca la triennale. Poi rispondo :-D
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Re: I chiusi rispetto ad una chiusura sono un reticolo completo

Messaggioda caulacau » 20/08/2019, 22:37

Che cosa intendi con \( \bigvee a=\bigvee\left(\Gamma\left(\bigvee a\right)\vee a\right) \)? È il join \( \underline{\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)}=\bigvee_{a\in A}\left(\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)\vee a\right) \)? Perché se è un typo ci sono.

Intendo proprio quello, perché lo chiami typo?

Qui c'è una dimostrazione che un join-semireticolo è un reticolo completo.

Aspetta un attimo, che (inizi e) finisca la triennale.
Eh no, io ho fretta.
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