Si consideri la gradinata in figura, composta di N gradini di altezza h e larghezza opportuna (ogni gradino avente sezione rettangolare).
Una ruota, schematizzabile come una circonferenza omogenea di massa m e raggio R > h, si sposta sul piano che sostiene la gradinata rotolando senza strisciare con velocità di traslazione vo in direzione ortogonale alla gradinata, urtandola. L'urto fra il primo gradino e la ruota è tale per cui quest'ultima durante il processo non si stacca dal punto di contatto né slitta: semplicemente la ruota si solleva dal suolo salendo sul primo gradino della gradinata dove continua il suo moto di rotolamento senza strisciare, mantenendo la stessa direzione che aveva prima dell'urto. In questo modo la ruota giunge a contatto con il secondo gradino, urtandolo secondo le stesse modalità discusse nel caso precedente, e il processo si ripete per tutti gli N gradini. Determinare il valore minimo della velocità vo che consente alla ruota di raggiungere la sommità.
La soluzione proposta nel libro di Carlo Bianciardi, mi sembra accettabile anche se un po’ contorta (complici anche gli errori di stampa).
Mi chiedevo invece se il ragionamento fatto da me potesse andare o se contiene errori: per il principio di conservazione dell’energia imposto
$ E_i = E_1 $
dove Ei è l’energia totale iniziale della ruota e E1 quella che ha dopo il primo gradino. Le energie in gioco sono cinetica, rotazionale e gravitazionale; per cui:
$ 1/2mv_o^2 + 1/2Iw^2 = 1/2mv_1^2 + 1/2Iw_1^2 + mgh $
Chiamando x la velocità perduta dalla ruota ed essendo w = vr e I = 1/2mR^2 (sbaglio qui? E solo qui?)
$ 1/2mv_o^2 + 1/4mR^4v_o^2 = 1/2m(v_o-x)^2 + 1/4mR^4(v_o-x)^2 + mgh $
$ v_o^2(1+1/2R^4) = (v_o-x)^2(1+1/2R^4) + 2gh $
E risolvendo per x viene una equazione di secondo grado abbastanza complicata, quindi credo abbia sbagliato qualcosa.
La mia idea era quella poi di togliere una velocità x per ogni scalino, per arrivare all’ennesimo scalino con velocità nulla. Quindi dato che dopo N scalini la velocità della ruota è vo - Nx, la velocità minima sarà quella pari a Nx.
Il problema, ripeto, è che x viene da un’equazione di secondo grado abbastanza grande.
