Integrale semplice in coordinate polari

[lRninG]

Salve. Ho questo integrale triplo che ho svolto e mi viene quasi esatto, a meno di una costante $1/2$.

Lascio traccia e svolgimento sperando che qualcuno possa illuminarmi:

Dato l'insieme $ K={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=\pi, 0<=z<=sqrt(x^2+y^2), x>=0, y>=0} $

Calcolare $ I=int^(K) zsen(x^2+y^2+z^2) dV_3(x,y,z) $ .

Il disegno sarebbe:



Anziché utilizzare le coordinate sferiche ho voluto provare con quelle polari:
$ I= int int int_ K zr(senr^2cosz^2+cosr^2senz^2)drdzd\theta $

Da cui escono 2 integrali di cui il secondo mi risulta essere trascurabile rispetto al primo in quanto infinitesimo.

Il primo integrale invece sarebbe:

$ int_(0)^(\pi/2)[ int_(0)^(sqrt(\pi/2))zcosz^2(int_(z)^(sqrt(\pi-z^2))rsenr^2dr ) dz]d\theta=\pi^2/16 $

Mentre sul libro risulta $\pi^2/8$... Idee?

[caffeinaplus]

Ciao,
partiamo facendo una trasformazione in cordinate polari $phi(x,y)\rarr(rho,theta): { x=rhocos(theta), y=rhosin(theta)}$

Quindi il determinante della Jacobiana della trasformazione sarà $rho$

E si avrà

$int_(K') rhozsin(rho^2+z^2)drhod(theta)dz$

Quindi, da $x>=0, y>=0$ ricaviamo che $0<theta<pi/2$

mentre sappiamo che $rho^2+z^2<pi\Rightarrow 0<rho<sqrt(pi)$

Mentre $0<z<p$ ma dalla precedente si ricava che $z<sqrt(pi-rho^2)$

Quindi $0<z<sqrt(pi-rho^2)$

Quindi

$int_{0}^{sqrt(pi)}rhodrho int_{0}^{pi/2}d(theta) int_{0}^{sqrt(pi-rho^2)}zsin(rho^2+z^2)dz$

Che porta a $pi^2/8$

Sinceramente la tua trasformazione non sono riuscito a capirla dato che non hai riportato tutti i passaggi

[lRninG]

Intanto ti ringrazio per la risposta. La tua soluzione è molto simile alla mia, io ho svolto con la formula di addizione del seno e ho spezzato in due integrali.

$ int int int_ K zr(senr^2cosz^2+cosr^2senz^2)drdzd\theta $

Il contributo del secondo mi risulta infinitesimo (trascurabile).

Resta il primo : $ I= int int int_ K zrsenr^2cosz^2drdzd\theta $
Dopodiché, guardando il grafico, ho integrato dalla retta alla circonferenza per quanto riguarda il $dr$, mentre ho integrato da $0$ a $sqrt(\pi/2)$ per quanto riguarda $dz$. Invece come hai fatto tu, $d\theta$ da $0$ a $\pi/2$.

$ int_(0)^(\pi/2)[ int_(0)^(sqrt(\pi/2))zcosz^2(int_(z)^(sqrt(\pi-z^2))rsenr^2dr ) dz]d\theta=\pi^2/16 $

La tua soluzione resta un ottimo aiuto e ti ringrazio anche per la chiarezza.

Dalla mia soluzione riesci a capire se faccio qualche errore di metodo o invece solo calcolo?

Grazie!

[lRninG]

Intanto ti ringrazio per la risposta. La tua soluzione è molto simile alla mia, io ho svolto con la formula di addizione del seno e ho spezzato in due integrali.

$ int int int_ K zr(senr^2cosz^2+cosr^2senz^2)drdzd\theta $

Il contributo del secondo mi risulta infinitesimo (trascurabile).

Resta il primo : $ I= int int int_ K zrsenr^2cosz^2drdzd\theta $
Dopodiché, guardando il grafico, ho integrato dalla retta alla circonferenza per quanto riguarda il $dr$, mentre ho integrato da $0$ a $sqrt(\pi/2)$ per quanto riguarda $dz$. Invece come hai fatto tu, $d\theta$ da $0$ a $\pi/2$.

$ int_(0)^(\pi/2)[ int_(0)^(sqrt(\pi/2))zcosz^2(int_(z)^(sqrt(\pi-z^2))rsenr^2dr ) dz]d\theta=\pi^2/16 $

La tua soluzione resta un ottimo aiuto e ti ringrazio anche per la chiarezza.

Dalla mia soluzione riesci a capire se faccio qualche errore di metodo o invece solo calcolo?

Grazie!

[caffeinaplus]

Beh così ad occhio direi che sbagli gli estremi di integrazione di $z$ che infatti ti danno il valore dimezzato

Si ha che $p^2+z^2<pi$ quindi essendo una somma tra due numeri sempre positivi, il valore di $z$ è massimo quando $p=0\Rightarrowz=sqrt(pi)$, quindi $z<sqrt(pi)$ e non $sqrt(pi/2)$

[lRninG]

Ti ringrazio nuovamente per la risposta. Il problema è che guardando al grafico non avrebbe senso che io integrassi fino a $\sqrt(pi)$, io ho "calcolato" gli estremi di integrazione per via grafica..

[caffeinaplus]

Allora a occhio avevo preso una svista, se prendi $z$ come variabile indipendente va integrato come $0<z<sqrt(pi/2)$, seguendo poi il tuo procedimento il risultato esce comunque corretto, anche se a un certo punto ho preferito "compattare" le funzioni trigonometriche.

Ho provato anche a svolgerlo tenendo tutto espanso ma mi ritrovavo pure io a dover pasticciare con formule poco piacevoli, quindi probabilmente avrai fatto qualche errore di conto a causa loro

[lRninG]

Ok. Grazie ancora per il tuo aiuto.
Sto impazzendo con questi calcoli ma alla fine dopo aver controllato altre 2 volte mi risulta sempre $\pi^2/16$. Allego il procedimento nella speranza che tu possa finalmente illuminarmi su questo $1/2$ di troppo (riporto tutti i passaggi):
Il secondo contributo è trascurabile quindi tornando al primo:

$ int_(0)^(\pi/2)[ int_(0)^(sqrt(\pi/2))zcosz^2(int_(z)^(sqrt(\pi-z^2))rsenr^2dr ) dz]d\theta $

Calcolo l'integrale in dr:

Dove $ int_(0)^(\pi/2)[ int_(0)^(sqrt(\pi/2))zcosz^2[-1/2 cos(r^2)]_(z)^(sqrt(\pi-z^2))dz]d\theta $

Che risolvendo il $d\theta$ e sistemando :

$\pi/2*int_(0)^(\pi/2)-1/2 zcosz^2(cos(\pi-z^2)-cosz^2)dz$

il quale risolto col calcolatore mi risulta $\pi^2/16$. Il secondo integrale è analogo, si scambiano seno e coseno ma mi risulta un numero piccolissimo dell'ordine di $10^(-19)$ quindi trascurabile.. Non so più dove guardare!!
Grazie!

[lRninG]

Allora a occhio avevo preso una svista, se prendi $z$ come variabile indipendente va integrato come $0<z<sqrt(pi/2)$, seguendo poi il tuo procedimento il risultato esce comunque corretto, anche se a un certo punto ho preferito "compattare" le funzioni trigonometriche.

Ho provato anche a svolgerlo tenendo tutto espanso ma mi ritrovavo pure io a dover pasticciare con formule poco piacevoli, quindi probabilmente avrai fatto qualche errore di conto a causa loro

Risolto!! Errore del professore!! Grazie comunque.