Equazione differenziale a variabili separabili

Messaggioda harperf » 22/08/2019, 10:24

Ciao ragazzi, mi aiutereste a capire la seguente? (eq.differenziale a variabili separabili)

Non mi torna molto, ovviamente ha sfruttato il metodo mnemonico di separazione, tuttavia non la risolve in termini di n e non riesco bene a formalizzare la questione.

Si ha la corrente alla giunzionedata da:

$q*(KT)/q*M_n*(dm)/(dx)=q*n*M_n*(dV)/(dx)$ passaggi illeciti (ma comprensibili in termini rigorosi) portano a -> $(dn)/n*(KT)/q=dV$

Ora mi aspettavo una separazione classica con un problema di Cauchi, invece integra tra 1 e 2 arrivando a:

$V_2-V_1=(KT)/qlog((n_2)/(n_1))$

Secondo voi cosa ha fatto rigorosamente? Non capisco, anche perché il problema di cauchi dovrebbe individuare una consizione, non due :smt012

Grazie per gli aiuti
harperf
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Re: Equazione differenziale a variabili separabili

Messaggioda pilloeffe » 22/08/2019, 10:59

Ciao harperf,

Noto che nei vari passaggi è "sparita" la dipendenza da $x $, mentre invece naturalmente sia $n $ che $V $ dipendono da $x $... :wink:
Quindi intuisco che sia stato posto implicitamente $ V_k := V(x_k) $ e $ n_k := n(x_k), \quad k = 1,2 $.
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Re: Equazione differenziale a variabili separabili

Messaggioda harperf » 22/08/2019, 12:58

Ciao pilloeffe :),

innanzitutto grazie per avermi preso in considerazione così rapidamente, allora posso capire che abbia imposto due punti 1 e 2, ma non credo di aver capito appieno il tuo suggerimento: infatti non capisco come sparisca il dx (rigorosamente sarebbero la derivata di m e V per x, tu dici lo valuto in due punti x1 e x2... ma non capisco come procedere)

So che forse è chiederti troppo ma avresti voglia di prenderti la briga di scrivermi i passaggi alla soluzine? E' una gran rottura, lo so, ma senza usare il LaTex anche un pezzo di carta per pm mi renderebbe felice decifrarlo... ci ho provato in molti modi ma non capisco e mi sembra di impazzire lol
harperf
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Re: Equazione differenziale a variabili separabili

Messaggioda pilloeffe » 22/08/2019, 15:01

Neanch'io sarò molto rigoroso, ma insomma l'idea di fondo è che abbia integrato in $\text{d}x $, tenendo conto del fatto che $ E = - \frac{\text{d}V(x)}{\text{d}x} \implies \text{d}V(x) = - E \text{d}x $:

$ (KT)/q \int_{x_1}^{x_2} (\text{d}n)/n = \int_{x_1}^{x_2} \text{d}V $

$ (KT)/q log[(n(x_2))/(n(x_1))] = V(x_2) - V(x_1) $

$ (KT)/q log((n_2)/(n_1)) = V_2 - V_1 $

con le posizioni già suggerite nel mio post precedente.
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Re: Equazione differenziale a variabili separabili

Messaggioda harperf » 22/08/2019, 17:18

Ahhh ok ora ho capito cosa intendevi, mi facevo fuorviare da quella "semplificazione" del dx del prf di elettrotecnica che mi faceva rizzare i peli di dosso.

L'unico punto è che se fosseun problema di cauchy potrei sì usare l'integrale definito come strategia risolutiva, ma non dovrebbe essere $\int_y_0^y$ con $y(0)y_0$ condizione iniziale?

Mi sembra che imponga due condizioni così.
harperf
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