Risoluzione integrale triplo

Messaggioda maxira » 21/08/2019, 22:39

Devo risolvere:

$ int int int_(V)^() 3x^2+3y^2+3z^2dx dy dz $

sapendo che $ 0<=z<=1 $, $ x^2+y^2<=z^2 $.

Solo che non so impostare l'integrale. So solo che dovrò integrare rispetto a z alla fine, quindi:

$ int_(0)^(1) dzint int_(S)^() 3x^2+3y^2+3z^2dx dy $

E riesco a trovare gli estremi tra cui varia x, dato che $ x^2<=z^2-y^2 rArr -sqrt(z^2-y^2)<= x<=sqrt(z^2-y^2) $.
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda pilloeffe » 22/08/2019, 01:16

Ciao maxira,

Dato che $ C := {(x,y,z) \in \RR^3 : 0 <= z <= 1, x^2 + y^2 <= z^2} $ è un cono di altezza $1 $ avente vertice $ V -= O(0,0,0) $, passerei alle coordinate cilindriche dopo aver raccolto il $3 $.
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda maxira » 22/08/2019, 10:58

Ottengo:

$ 3int int int_(v)^() (rho^2sin^2theta cos^2phi +rho^2sin^2thetasin^2phi+rho^2cos^2phi) rho^2 sin^2phi dp dtheta dphi $

con $ 0<=rho<=1 $ , $ 0<=theta<=2pi $ $ -pi/2<=phi<=pi/2 $ .
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda pilloeffe » 22/08/2019, 11:10

Ma no, quelle che hai usato non sono coordinate cilindriche, che sono le seguenti:

$\{(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):}$

ove nel caso in esame $0 <= \rho <= z $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $0 <= z <= 1 $.
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda maxira » 22/08/2019, 12:32

Come capisco quando usare l'una o l'altra?
Di solito se c'è il termine z penso subito alle sferiche.
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda pilloeffe » 22/08/2019, 12:59

Bella domanda... Beh, non c'è una regola generale. Diciamo che tipicamente quando si ha a che fare con coni e cilindri conviene passare alle coordinate cilindriche. Nel caso in esame poi tali coordinate erano ulteriormente suggerite dal fatto che era già presente una bella limitazione "pulita" per $z $, cioè $ 0 <= z <= 1 $, quindi certamente non conveniva perdere questa semplicità trasformando la coordinata $z $ in qualcos'altro... :wink:
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda maxira » 23/08/2019, 11:13

Okay, grazie.

Puoi correggere il mio svolgimento?

$ 3 int_(0)^(1) dz int int_()^() (rho^2 + z^2) rho drho d theta $

$ 3 int_(0)^(1) dz( int_(0)^(1) rho^3 drho int_(0)^(2pi) d theta + z^2 int_(0)^(1) rho drho int_(0)^(2pi) d theta ) $

$ 3 int_(0)^(1) dz( 1/4 2pi+ z^2 1/2 2pi) $

$ (3pi)/2 int_(0)^(1) dz + 3pi int_(0)^(1) z^2 dz = 5/2pi $
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda pilloeffe » 23/08/2019, 14:40

No, salvo errori mi risulta $ (9\pi)/10 $:

$ 3 \int_(0)^(1) \text{d}z int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^(z) (\rho^2 + z^2) \rho \text{d}\rho = 6\pi \int_(0)^(1) [\int_0^(z) (\rho^2 + z^2) \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) [\int_0^(z) \rho^3 \text{d}\rho + z^2 \int_0^(z) \rho\text{d}\rho] \text{d}z = $
$ = 6\pi \int_(0)^(1) {[\rho^4/4]_0^z + z^2 [\rho^2/2]_0^z} \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) [z^4/4 + z^4/2] \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) (3z^4)/4 \text{d}z = (9\pi)/2 \int_(0)^(1) z^4 \text{d}z = $
$ = (9\pi)/2 [z^5/5]_0^1 = (9\pi)/10 $
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda maxira » 23/08/2019, 20:06

Mi trovo adesso. Non avevo notato che $rho$ variasse tra 0 e z.


Se invece volessi impostare il seguente integrale doppio:

$ int int_(D)^() |y|/(x^2+y^2)^2dx dy $

con $ D={1<=x^2+y^2<=4x, |y|<=sqrt3 x} $

andrebbe bene questa impostazione?

Passando in coordinate polari:

$ 1<=rho<=sqrt3 costheta $
$ -pi/6<=theta<=pi/6 $

$ int int_()^()|rho sintheta|/(rho^3) drho d theta $
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Re: Risoluzione integrale triplo

Messaggioda pilloeffe » 24/08/2019, 00:27

maxira ha scritto:Se invece volessi impostare il seguente integrale doppio:

$ \int \int_D |y|/(x^2+y^2)^2 \text{d}x \text{d}y $

con $D={1<=x^2+y^2 <= 4x, |y|<= sqrt{3} x} $

andrebbe bene questa impostazione?

No. In tal caso, prima di fare qualsiasi altra operazione, osserverei che $D $ è simmetrico rispetto all'asse $x$ e la funzione integranda $f(x,y) = |y|/(x^2+y^2)^2 $ è pari:

$ f(-x, y) = f(x, -y) = f(-x, -y) = f(x, y) $

Per cui si ha:

$ \int \int_D |y|/(x^2+y^2)^2 \text{d}x \text{d}y = 2 \int \int_{D^+} y/(x^2+y^2)^2 \text{d}x \text{d}y $

con $ D^+ = {1<=x^2+y^2 <= 4x, x >= 0, 0 <= y <= sqrt{3} x} $
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