Non c'è una regola generica per fare questi conti senza un calcolatore
In questo caso usare Taylor non conviene in quanto derivare diventa un massacro a livello di conti
so che $arctan(1/x^10)<pi/2$ quindi $arctan(1/x^10)-pi/2<0$
a questo punto posso aggiungere un termine $x^n$ ottenendo $underbrace(arctan(1/x^10))_(f(x))+underbrace(x^n-pi/2)_(-p_n(x))<x^n$
la funzione $g(x)=f(x)-p_n(x)$ ha derivata $g'(x)=(nx^(n+19)+nx^(n-1)-10x^9)/(1+x^20)$
se poni $n=10$ ottieni una funzione con derivata strettamente positiva in $(0,1)$ ed essendo $g(0)=0$ si ottiene che $g$ è anche positiva pertanto
$abs(int_(0)^(1)f(x)dx-int_(0)^(1)p_10(x)dx)leq int_(0)^(1)abs(f(x)-p_10(x)dx)leq int_(0)^(1)x^10dx$
l'integrale $int_(0)^(1)x^10=1/11<1/10$
pertanto l'errore che si commette approssimando $int_(0)^(1)f(x)dx$ con $int_(0)^(1)p_10(x)dx$ è minore di $0.1$
e l'approssimazione risulta essere $int_(0)^(1)(pi/2-x^10)dx=pi/2-1/11$