Re:

Messaggioda ProPatria » 22/08/2019, 02:48

Luca.Lussardi ha scritto:Infatti, non ha nessun senso porre quella domanda ad un liceale...


forse non è alla mia portata, comunque mi ha spinto ad informarmi su argomenti "lontani" (per il momento) e di conseguenza a farmi un'idea più chiara di quel che probabilmente mi aspetta.

j18eos ha scritto:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Pure secondo me proporre di dimostrare il teorema fondamentale delle relazioni di equivalenza sia una richiesta esagerata per un liceale, che non conosce nemmeno la teoria ingenua degli insiemi.
Tornando a rispondere alle due domande dell'OP: l'algebra lineare è una branca dell'algebra, che si utilizza per costruire un modello della geometria di Euclide.

La topologia è un settore estremamente astratto, e preferisco non descrivertelo; d'altronde, ogni primo corso di topologia generale è impostato in maniera abbastanza personalizzata da parte del docente.


Molto chiaro. Grazie mille :)

gugo82 ha scritto:
Dati due numeri $ a,b>0 $, si consideri l’equazione:
\[ \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + b} = 0\; . \]
Si dimostri che essa ha due soluzioni reali e che, suddiviso ciascuno degli intervalli $ ]- b, 0[ $ e $ ]0, a[ $ in tre intervalli uguali, le due soluzioni si trovano nei tratti centrali. (Per far vedere che le soluzioni sono solo due, si tenga presente che la funzione $ 1/(x - alpha) $ è decrescente sia in $ ]alpha , +oo[ $ sia in $ ]-oo , alpha[ $.)

È un esercizio dimostrativo, non è di tipo geometrico (che non piace allo OP) e si risolve conoscendo quel po’ di teoria che si deve conoscere al termine di un liceo.
L’obiettivo dell’esercizio è comunque scrivere una dimostrazione, cioè giustificare con calcoli ed argomentazioni logiche e coerenti i passaggi che consentono di ottenere la tesi, i.e. 1 che l’equazione $ 1/(x - a) + 1/x + 1/(x + b) = 0 $ ha solo due soluzioni in campo reale e 2 che tali soluzioni sono localizzate lì dove indica il testo, partendo dalle ipotesi, i.e. $ a,b > 0 $.

Per scrivere una dimostrazione, uno deve cercare di individuare una strada, proprio come si fa nella risoluzione di problemi di Geometria al biennio.
Nei problemi di Geometria la via maestra è “disegnare una figura e ragionare su di essa”; ed anche in questo caso è possibile appoggiare i propri ragionamenti su un’appropriata rappresentazione grafica.
In generale, valgono i consigli che do ai miei studenti e che ho riassunto qui (parlando dei problemi di Geometria, ma sono del tutto generali).


Grazie per la pazienza, mi sembra fattibile. Ci provo e posto il risultato :wink:

gugo82 ha scritto:@ ProPatria:
ProPatria ha scritto:Ciao a tutti, mi sono diplomato da poco allo scientifico e tra poco inizierò l'università. La facoltà verso cui sono più orientato è matematica, non tanto perché provi un piacere smisurato nello studiare questa disciplina, più che altro è una delle poche che suscita il mio interesse e ho capito che ormai conoscerla a pieno fa parte di una sfida con i miei amici ma soprattutto con me stesso.

Già parti col piede sbagliato.
Iscriversi all’università presuppone un “piacere” nello studiare ciò di cui il c.d.l. scelto tratta, sia esso Matematica o Veterinaria ovvero Scienze Gastronomiche Mediterranee.1
La sfida con gli amici può essere una buona motivazione per il calcetto, ma non per lo studio universitario.


Se come dici iscriversi all'università presuppone un piacere nello studiare credo che farò meglio a trovarmi un lavoro al più presto :-D. Per quanto riguarda la "sfida con gli amici" che ho citato, questa (come forse ho lasciato intendere) influenza in parte molto piccola la mia decisione. Ciò che invece svolge il ruolo principale nella mia scelta è il fatto di poter dimostrare a me stesso che sono all'altezza di ciò che scelgo.

gugo82 ha scritto:
ProPatria ha scritto:Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.

Insomma, i conti li sai più o meno fare, ma ragionare non è il tuo mestiere?
Anche qui, parti col piede sbagliato, dato che “fare i conti” è solo una piccola parte del lavoro del matematico.


Quando ho citato la mia "scarsa preparazione" e la "visione geometrica" dei problemi mi riferivo unicamente all'ambito della geometria euclidea. Il ragionamento che concerne la ricerca di una dimostrazione o la risoluzione di un problema è ciò che più mi affascina e il senso di appagamento che si prova al raggiungimento dei suddetti credo sia una sensazione che poche altre discipline siano in grado di fornire.

gugo82 ha scritto:
ProPatria ha scritto:Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie :smt023

Penso che, in sé, non c’è nulla da vergognarsi se non ti piace la Geometria in quanto tale; però se questo significa che non ti piace “dimostrare cose”, beh, ti direi di pensarci 500 volte prima di iscriverti a Matematica.

Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri (che puoi leggere anche in inglese qui).


Ti confesso che sto già leggendo (o almeno provando a leggere) Che cos'è la Matematica, Boringhieri. Il fatto che le pagine riguardanti la teoria dei numeri, la teoria degli insiemi e le dimostrazioni algebriche in generale si siano rivelate grossomodo scorrevoli al contrario dei capitoli sulla geometria euclidea e sulle costruzioni "con riga e compasso" (con eventuali dimostrazioni lasciate come esercizio al lettore) è proprio il fattore che mi ha spinto a scrivere qui. Per quanto riguarda il Courant & Robbins che hai citato vorrei farti qualche domanda. Di cosa tratta in particolare? Come lo reputi (anche a livello di difficoltà) rispetto a Che cos'è la matematica?
comunque, grazie mille per l'esaustività :D

marco2132k ha scritto:Purtroppo, più di così non posso fare per @ProPatria. Fossimo a marzo gli avrei linkato delle dispense libere (tipo questa o questa). Ma ora è tardi per farsi un'idea concreta. (Che è quello che gli serve, e che serve a me in merito a molti altri corsi di laurea, ovviamente!).


Ti ringrazio per i link. Sembrano molto interessanti, credo che mi saranno utili :smt023

Note

  1. Sì, esiste… :roll:
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Re: Re:

Messaggioda giuliofis » 22/08/2019, 09:25

Mi permetto di intervenire nello scambio tra ProPatria e Gugo:
ProPatria ha scritto:Se come dici iscriversi all'università presuppone un piacere nello studiare credo che farò meglio a trovarmi un lavoro al più presto :-D

ProPatria ha scritto:il senso di appagamento che si prova al raggiungimento dei suddetti [risultati, le dimostrazioni dei teoremi e le soluzioni ai problemi] credo sia una sensazione che poche altre discipline siano in grado di fornire.

Non ti sembrano contraddittorie queste due affermazioni? Come puoi provare appagamento nel dimostrare teoremi e al contempo non provare piacere nello studiare (matematica, nel tuo caso)?

ProPatria ha scritto:Per quanto riguarda il Courant & Robbins che hai citato vorrei farti qualche domanda. Di cosa tratta in particolare? Come lo reputi (anche a livello di difficoltà) rispetto a Che cos'è la matematica?

Sono lo stesso libro. Courant e Robbins sono gli autori di Che cos'è la matematica?.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda gugo82 » 22/08/2019, 13:13

@ Ancona:
Ancona ha scritto:
Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri


L'unica cosa di sempreverde, per quanto riguarda il Courant&Robbins, è la copertina.

Hai ragione. È un vero peccato che non ci siano libri simili scritti più di recente… Purtroppo sembra che neanche chi vola alto sulla Matematica (e.g., chi si occupa di categorie) abbia una vista migliore di una coppia analista/fisico matematico (Courant) & topologo/statistico (Robbins) vecchio stampo, i quali stavano sul campo invece che sopra di esso.

E pensare che Robbins aveva 25 anni circa quando aiutò Courant (che ne aveva una 50ina) a scriverlo… Ormai non li fanno più i ventenni di una volta: financo i neotrentenni di oggi sembra se ne vadano in giro citando altri a destra ed a manca (come fossero apostoli di un nuovo messia), piuttosto di cercare di dire la propria su ciò che dicono di amare.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Matematica o no?

Messaggioda Ancona » 22/08/2019, 15:04

@Gugo Se stai troppo sul campo, mettiti un cappello e non prendere un'insolazione.

Che poi, riguardo al Courant&Robbins non è questione che il più giovane dei due autori sia nato cento anni fa -chissenefrega- la questione è che si tratta di un libro oggettivamente ammuffito che non dà nessuna prospettiva sulla matematica che viene fatta da chi sta sul campo, ma non a prendere il sole.

Al resto del sermone ti rispondo quando lo capisco.
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Re: Re:

Messaggioda ProPatria » 22/08/2019, 17:38

giuliofis ha scritto:Mi permetto di intervenire nello scambio tra ProPatria e Gugo:
ProPatria ha scritto:Se come dici iscriversi all'università presuppone un piacere nello studiare credo che farò meglio a trovarmi un lavoro al più presto :-D

ProPatria ha scritto:il senso di appagamento che si prova al raggiungimento dei suddetti [risultati, le dimostrazioni dei teoremi e le soluzioni ai problemi] credo sia una sensazione che poche altre discipline siano in grado di fornire.

Non ti sembrano contraddittorie queste due affermazioni? Come puoi provare appagamento nel dimostrare teoremi e al contempo non provare piacere nello studiare (matematica, nel tuo caso)?


Dipende da cosa intendi per "studiare". Io mi riferivo all'attività di apprendimento sui libri quindi la lettura, la comprensione e il ripetere concetti. Per quello che intendevo io la risoluzione di un esercizio o la ricerca di una dimostrazione non rientrano nello "studiare".

giuliofis ha scritto:
ProPatria ha scritto:Per quanto riguarda il Courant & Robbins che hai citato vorrei farti qualche domanda. Di cosa tratta in particolare? Come lo reputi (anche a livello di difficoltà) rispetto a Che cos'è la matematica?

Sono lo stesso libro. Courant e Robbins sono gli autori di Che cos'è la matematica?.


Grazie, errore mio :oops: :-D
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Re: Re:

Messaggioda giuliofis » 22/08/2019, 18:04

ProPatria ha scritto:Dipende da cosa intendi per "studiare". Io mi riferivo all'attività di apprendimento sui libri quindi la lettura, la comprensione e il ripetere concetti. Per quello che intendevo io la risoluzione di un esercizio o la ricerca di una dimostrazione non rientrano nello "studiare".

Dimostrare teoremi sarà gran parte dello studio della matematica. E scordati di impararle a memoria le dimostrazioni dell'esame, sono talmente tante che non ce la farai, dovrai quindi saperle ricostruire da solo.
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Re: Re:

Messaggioda ProPatria » 22/08/2019, 18:16

giuliofis ha scritto:
ProPatria ha scritto:Dipende da cosa intendi per "studiare". Io mi riferivo all'attività di apprendimento sui libri quindi la lettura, la comprensione e il ripetere concetti. Per quello che intendevo io la risoluzione di un esercizio o la ricerca di una dimostrazione non rientrano nello "studiare".

Dimostrare teoremi sarà gran parte dello studio della matematica. E scordati di impararle a memoria le dimostrazioni dell'esame, sono talmente tante che non ce la farai, dovrai quindi saperle ricostruire da solo.


D'accordo, ti ringrazio per il consiglio. Suppongo allora che tu sia uno studente di matematica o laureato in matematica... Vorrei farti quindi una domanda fuori questione. Qual'è o quali sono gli esami che hai trovato più ardui o più noiosi?
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Re: Re:

Messaggioda giuliofis » 22/08/2019, 22:03

ProPatria ha scritto:Suppongo allora che tu sia uno studente di matematica o laureato in matematica...

No, sono laureato in fisica, anche se che cinque dei sei esami di matematica che ho fatto erano mutuati dal corso di laurea in matematica.
giuliofis
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Re: Re:

Messaggioda ProPatria » 23/08/2019, 00:31

giuliofis ha scritto:
ProPatria ha scritto:Suppongo allora che tu sia uno studente di matematica o laureato in matematica...

No, sono laureato in fisica, anche se che cinque dei sei esami di matematica che ho fatto erano mutuati dal corso di laurea in matematica.


Capisco. Immagino allora che tu ne abbia comunque dati un po' di esami di matematica, quindi se vuoi rispondere la domanda è la stessa :D
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Re: Matematica o no?

Messaggioda marco2132k » 23/08/2019, 01:25

@ProPatria Ti metto in spoiler qualche piccola osservazione:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
1) Se il buon senso te ne dà il permesso, preferisci al formalismo da lavagna ("\( \forall\epsilon>0\exists\delta>0|\dots \)") le parole. Il primo non aggiunge rigore al tuo argomento, mentre le seconde rendono più chiaro ciò che vuoi comunicare. (Quindi, "La funzione \( f \) ha per limite \( \lim_{x\to x_0}f(x) \) in \( x_0 \) il punto \( l \), se per ogni \( \epsilon>0\)...", e non... hai capito).

ProPatria ha scritto:La relazione binaria $E_f$ mette in relazione quelle coppie $(x,y)$ tali che $f(x)=f(y)$, con $x,yin S$.
2) La \( {\mathrel{E}_f} \) "mette in relazione" elementi di \( S \), non coppie di elementi di \( S \). Forse ti sei confuso con la definizione di relazione, che di fatto è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

ProPatria ha scritto:L'insieme \(S/E_f\) ha quindi come elementi le classi di equivalenza $(a_0,a_1,...,a_n)$
3) Perché una classe di equivalenza dovrebbe essere finita?

ProPatria ha scritto:Notiamo che n può essere 0 e la classe composta da un solo elemento, infatti $E_f$ è riflessiva, cioè $f(a_0)=f(a_0)$
4) Se \( f \) è una funzione \( A\to B \) tra due insiemi \( A \) e \( B \) qualsiasi, alcuni definiscono la fibra di un elemento \( b\in B \) come il sottoinsieme \( \left\{a\in A:f(a)=b\right\} \). Tale sottoinsieme può essere vuoto (quando \( f \) non è suriettiva), può contenere un solo elemento, o può contenerne tanti. Può accadere che tutte le fibre abbiano un solo elemento, e hai anche più o meno detto quando ciò avviene.

ProPatria ha scritto:Notiamo quindi che tra i due insiemi \(S/E_f\) e $T$ sussiste una relazione biunivoca, infatti a ogni elemento $q∈T$ corrisponde un solo elemento \(p\in S/E_f\) tale che f(p)=q
5) La \( f \) non prende in ingresso classi di equivalenza. Probabilmente stai chiamando con lo stesso nome, appunto, \( f\colon S\to T \) e la funzione (diciamo \( g \)) che stai costruendo.

Costruisci \( g\colon S/{\mathrel{E}_f}\to T \) mappando una classe di equivalenza \( C \) con l'immagine secondo \( f \) di un elemento di \( C \) scelto a ca**o. E dici che è biiettiva, perché (vd. sopra) la fibra di ogni punto di \( T \) ha un unico elemento. Però non dimostri quest'ultima affermazione.

Forse mi è sfuggito qualcosa, ma comunque mi pare ok!

p.s. Se vuoi provare a mettertici un po' seriamente con le dispense, ti consiglio di cominciare da quelle di geometria. Perché partono dalla teoria degli insiemi, e quelle di A1 no. (In realtà sul sito di Paolini ci sono dei fogli introduttivi su insiemi e linguaggio matematico, cerca bene. Però non li ho mai letti, so solo che ci sono, quindi non te li ho segnalati.)
marco2132k
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