Provare insieme limitato

[maxira]

Come provare che l'intersezione di V1, V2 e V3 è limitata?

$ V1={(x,y): x^3-y^3=1} $

$ V2={(x,y): x>=0} $

$ V3={(x,y): y<=0} $

Devo poi trovare il punto dell'intersezione di massima distanza dall'origine usando i moltiplicatori di Lagrange.

$ L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda(x^3-y^3-1)$

Se risolvo il sistema delle derivate trovo i punti (0, -1) e (1,0), entrambi di massima distanza (la funzione x^2+y^2 assume valore 1 in entrambi.)
È corretto?

[pilloeffe]

Ciao maxira,

No, non è corretto.
Si ricava che $y = \root[3]{x^3 - 1} = \root[3]{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $
Ora, dato che $x^2 + x + 1 > 0 $ e deve essere $y <= 0 $, si ricava subito che deve essere $x <= 1 $, quindi
in definitiva si ha $0 <= x <= 1 $; con analoghe considerazioni sulla funzione $x = x(y) = \root[3]{y^3 + 1} = \root[3]{(y + 1)(y^2 - y + 1)} $ si ricava che deve essere $y + 1 >= 0 \implies y >= - 1 $, quindi in definitiva si ha $- 1 <= y <= 0 $. Dunque nel quarto quadrante (quello caratterizzato da $x >= 0 $ e $y <= 0 $) la funzione $y = \root[3]{x^3 - 1} $ è contenuta in un quadrato di lato $1$. Dal grafico della funzione è chiaro che la massima distanza dall'origine degli assi deve trovarsi sulla diagonale di tale quadrato, che giace sulla retta di equazione $y = - x $, per cui risolvendo il sistema

$\{(y = \root[3]{x^3 - 1}),(y = - x):}$

si trova il punto $M(1/root[3]{2}, - 1/root[3]{2}) $ che è quello alla massima distanza dall'origine $d_M = root[3]{2} > 1 $

[maxira]

E per quanto riguarda la limitatezza?

[pilloeffe]

Più limitato di un quadrato di lato $1 $...

[dissonance]

@pilloeffe: Però non mi hai convinto con il discorso "dal grafico della funzione è chiaro che il punto di minima distanza deve trovarsi su \(y=-x\)". A me non sembra tanto chiaro. Mi sa che bisogna dimostrarlo facendo qualche conto. Naturalmente il conto lo deve fare maxira e non tu

[pilloeffe]

Ciao dissonance,

@pilloeffe: Però non mi hai convinto con il discorso "dal grafico della funzione è chiaro che il punto di massima distanza deve trovarsi su $y=−x $". A me non sembra tanto chiaro. Mi sa che bisogna dimostrarlo facendo qualche conto.

Certamente, l'ho scritto solo per brevità...
D'altronde qualcosa deve pur fare anche l'OP ed in merito a $x^3 - y^3 = 1 $ e alla retta $y = - x $ qualcosa si può dire...

[maxira]

Più limitato di un quadrato di lato $ 1 $...

Per arrivare a dire ciò, hai fatto un ragionamento tipo questo?

https://www.youmath.it/forum/analisi-2n ... patto.html

[pilloeffe]

Eh beh, anche... Tu come la vedi?

[anto_zoolander]

Butto i miei due centesimi

Se un punto sta in quella intersezione deve essere $xgeq0$ e $yleq0$ da cui si ottiene

$x^3geq0$ e $-y^3geq0$

ovvero $x^3leqx^3-y^3$ e $-y^3leqx^3-y^3$
Ogni volta che i membri a destra fanno $1$ deve essere $x^3leq1$ e $-y^3leq1$

Da cui si ottiene $0leqxleq1$ e $-1leqyleq0$