Integrali multipli generalizzati (o impropri).

[Francesco1961]

Buongiorno a tutti. Sto cercando di risolvere un esercizio in cui mi si chiede di calcolare l'integrale
$\int_A exp(-3z^2)\cdot (x^2+y^2)^{-1/2} dx dy dz$, dove $A=\{(x,y,z):x^2+y^2\leq z^2, z\geq 0\}$.
Si tratta di un integrale improprio, sia perché il dominio è illimitato, sia perché la funzione è illimitata vicino a $(0,0,0)$. Sono passato a coordinate cilindriche, ma sono in difficoltà: potrei cercare di calcolare l'integrale in $A'=\{(x,y,z):\varepsilon<x^2+y^2\leq z^2, 0\leq z\leq M}$ (per poi fare il limite per $\varepsilon$ che tende a 0 e M che tende a $+\infty$), ma - se non ho commesso errori - dovrei arrivare a
$2\pi \cdot \int_0^M \exp(-3z^2)\cdot \ln(\frac{z}{\varepsilon}) dz$ per fare il limite come detto prima...
Fin qui è corretto il mio procedimento? Sbaglio se, invece di $\varepsilon$, metto $\frac{1}{M}$?
Grazie
Francesco

[pilloeffe]

Ciao Francesco1961,

Benvenuto sul forum!

L'insieme $A $ è un cono infinito avente vertice $V-= O(0,0,0) $, per cui la scelta delle coordinate cilindriche è senz'altro la migliore. Dopo qualche passaggio e ricordando lo jacobiano della trasformazione dovresti ottenere:

$ \int_A exp(-3z^2)\cdot (x^2+y^2)^{-1/2} \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta\int_0^{+\infty }exp(-3z^2) \text{d}z $

ove l'ultimo scritto è il ben noto integrale di Gauss...

[Francesco1961]

Hai ragione, credo di aver dimenticato il determinante della matrice jacobiano, che poi avrei semplificato con $(x^2+y^2)^(1/2)$. Grazie!

[pilloeffe]

Grazie!

Prego!
L'esercizio è generalizzabile:
calcolare

$ \int_A exp(-az^2)\cdot (x^2+y^2)^{-1/2} \text{d}x \text{d}y \text{d}z $

ove $a > 0 $ e $ A :=\{(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2 \leq z^2, z\geq 0\} $
Passando alle coordinate cilindriche si ha:

$ \int_A exp(-az^2)\cdot (x^2+y^2)^{-1/2} \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta\int_0^{+\infty }exp(-az^2) \text{d}z = 2\pi \cdot 1/2 \sqrt{\pi/a} = \pi \sqrt{\pi/a} $

Nel caso dell'integrale proposto naturalmente $a = 3 > 0 $.