Buongiorno ho tre domande sullo stesso argomento:
1) Definizione. Una superficie regolare e semplice $\Sigma$ $sub$ $RR^3$ dicesi orientabile se, prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse sono tra loro congruenti.
Es. Anello cilindrico di raggio 1 e altezza 2: $\vec σ$ : $[0, 2π]$ $xx$ $[−1, 1]$ $hArr$ $RR^3$ $ ,$ $\vec σ(u, v)$ $ = cos u$ $\vec i$ $+ sin u$ $\vec j$ $+ v $ $\vec k$ .
- Ma se prendo un'altra parametrizzazione regolare e semplice di $\Sigma$ come $[0, 2π)$ $xx$ $[−1, 1]$ che è iniettiva, si ha che le due parametrizzazioni sono ovviamente non congruenti, lo stesso vale per qualsiasi calotta come il nastro di Mobius. Dove sbaglio?
Inoltre per il nastro di Mobius nel testo si dice che non è orientabile perché ad esempio nel punto $\vec σ$ $ (0, 0) $ $ =$ $\vec σ$ $ (2π, 0) $ il vettore normale al piano tangente ha due versi opposti. Giusto, ma non so dimostrare perché non è orientabile secondo la definizione cioè se prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse non sono tra loro congruenti.
-Qualcuno sa dimostrare secondo la definizione che l'anello cilindrico è orientabile e il nastro di Mobius non lo è?
2) Ogni superficie (o calotta) regolare e semplice $\Sigma$ contenuta nella frontiera $del$ $\Omega$ di un aperto connesso e limitato $\Omega$ $sub$ $RR^3$ , è orientabile.
-Ma se considero un aperto connesso e limitato ottenuto da una sfera "di raggio grande" (perché deve contenere il nastro) e senza la sua frontiera, togliendo nel suo interno i punti corrispondenti alla superficie del nastro di Mobius ottengo che la frontiera di tale aperto contiene la superficie del nastro di Mobius.