Lunghezza segmento senza estremi

[tmox]

Buongiorno. Chiedo scusa per la domanda forse banale, ma sto cercando una risposta rigorosa per essa.

Se un segmento di estremi A=1 e B=3 sull'asse x ha una lunghezza pari a 2, allora un segmento composto dai punti tali che A<x<B che lunghezza ha? Malgrado mi verrebbe da pensare che i due segmenti siano diversi, la definizione di punto come "privo di dimensioni" sembrerebbe suggerire che nonostante il secondo segmento abbia due punti in meno (ovvero A e B) la sua lunghezza è la stessa.


Grazie in anticipo.

[gugo82]

Che cos’è la lunghezza di un segmento?

[tmox]

Che cos’è la lunghezza di un segmento?

E' la distanza tra i due punti estremali, che nel secondo caso non sono definibili in modo finito… Resta il fatto che nel primo caso ho definito un dominio monodimensionale (i punti tra A e B compresi A e B), nel secondo caso ho definito un altrettanto dominio monodimensionale escludendo i punti A e B. Il primo è degno di essere chiamato segmento mentre il secondo no? Perchè?

[gugo82]

La lunghezza di un segmento è, per definizione, la distanza tra i suoi estremi.
Gli estremi di un segmento $s$ sono, per definizione, i punti $A,B$ (appartenenti o no al segmento) tali che $A <= P <= B$ per ogni $P in s$.
Dunque $bar(s) = text(dist)(A,B)$ indipendentemente dal fatto che gli estremi appartengano o meno al segmento.

[tmox]

Dunque $bar(s) = text(dist)(A,B)$ indipendentemente dal fatto che gli estremi appartengano o meno al segmento.

Pertanto stiamo dicendo che un segmento comprendente i punti A e B è uguale ad un segmento NON comprendente i punti A e B? Per estensione… se con 4 segmenti costituisco un quadrato, l'area del quadrato è la stessa sia quando lo costruisco con i segmenti che includono A e B che quando lo costruisco con i segmenti che escludono A e B? Oppure, ancora, se il dominio del mio quadrato nel piano comprende o meno i segmenti rappresentativi del bordo, la sua area è la stessa?

Non credi che ci sia un gap notevole in questo fatto?
In origine, il cervello mi ha flippato quando mi sono chiesto se il bordo di un dominio incluso in un altro dominio appartiene ad entrambi i domini. Si pensi ad un campo vettoriale rappresentativo di un campo fluidodinamico, all'interno del quale si concepisca un dominio spaziale rappresentativo di un oggetto immerso nel campo fluidodinamico. Se voglio conoscere la pressione agente su questo corpo, valuto il valore della pressione sul suo contorno… ma il contorno appartiene all'oggetto, al campo fluidodinamico, oppure ad entrambi? Stando alla tua affermazione in teoria entrambi i domini occupano la stessa quantità di spazio sia attribuendo ad entrambi lo stesso bordo sia attribuendolo ad un dominio solo. Ad esempio, immaginando il quadrato immerso nel campo vettoriale, il bordo del quadrato potrebbe diventare parte del campo fluidodinamico, e a quel punto il dominio del quadrato NON comprende il bordo, eppure ha la stessa area…

Parrebbe allora che possa modificare i domini ed il loro bordo a piacimento senza conseguenze. Mi sembra ci sia qualcosa di incoerente in tutto questo.

Naturalmente l'esempio è pratico ma il concetto è puramente matematico.

[gugo82]

Dunque $bar(s) = text(dist)(A,B)$ indipendentemente dal fatto che gli estremi appartengano o meno al segmento.

Pertanto […]

È un avverbio che denota consequenzialità, ma non vedo come:

[…] stiamo dicendo che un segmento comprendente i punti A e B è uguale ad un segmento NON comprendente i punti A e B?

possa seguire logicamente dalle mie affermazioni.
Me lo spieghi?

Il resto:

Per estensione… se con 4 segmenti costituisco un quadrato, l'area del quadrato è la stessa sia quando lo costruisco con i segmenti che includono A e B che quando lo costruisco con i segmenti che escludono A e B? Oppure, ancora, se il dominio del mio quadrato nel piano comprende o meno i segmenti rappresentativi del bordo, la sua area è la stessa?

Non credi che ci sia un gap notevole in questo fatto?
In origine, il cervello mi ha flippato quando mi sono chiesto se il bordo di un dominio incluso in un altro dominio appartiene ad entrambi i domini. Si pensi ad un campo vettoriale rappresentativo di un campo fluidodinamico, all'interno del quale si concepisca un dominio spaziale rappresentativo di un oggetto immerso nel campo fluidodinamico. Se voglio conoscere la pressione agente su questo corpo, valuto il valore della pressione sul suo contorno… ma il contorno appartiene all'oggetto, al campo fluidodinamico, oppure ad entrambi? Stando alla tua affermazione in teoria entrambi i domini occupano la stessa quantità di spazio sia attribuendo ad entrambi lo stesso bordo sia attribuendolo ad un dominio solo. Ad esempio, immaginando il quadrato immerso nel campo vettoriale, il bordo del quadrato potrebbe diventare parte del campo fluidodinamico, e a quel punto il dominio del quadrato NON comprende il bordo, eppure ha la stessa area…

Parrebbe allora che possa modificare i domini ed il loro bordo a piacimento senza conseguenze. Mi sembra ci sia qualcosa di incoerente in tutto questo.

Naturalmente l'esempio è pratico ma il concetto è puramente matematico.

Sono parole in totale libertà.

[tmox]

La lunghezza di un segmento è, per definizione, la distanza tra i suoi estremi.
Gli estremi di un segmento $s$ sono, per definizione, i punti $A,B$ (appartenenti o no al segmento) tali che $A <= P <= B$ per ogni $P in s$.
Dunque $bar(s) = text(dist)(A,B)$ indipendentemente dal fatto che gli estremi appartengano o meno al segmento.

Con questa affermazione non intendevi dire che la lunghezza del segmento è la stessa i entrambi i casi? E due segmenti di uguale lunghezza non sono uguali?

Magari ho frainteso.

[gugo82]

La lunghezza di un segmento è, per definizione, la distanza tra i suoi estremi.
Gli estremi di un segmento $s$ sono, per definizione, i punti $A,B$ (appartenenti o no al segmento) tali che $A <= P <= B$ per ogni $P in s$.
Dunque $bar(s) = text(dist)(A,B)$ indipendentemente dal fatto che gli estremi appartengano o meno al segmento.

Con questa affermazione non intendevi dire che la lunghezza del segmento è la stessa i entrambi i casi?

Sì.

E due segmenti di uguale lunghezza non sono uguali?

Definisci "uguali".

[tmox]

Definisci "uguali".

Se hanno la stessa direzione (ad esempio giacciono sull'asse x) e hanno la stessa lunghezza, per me "uguali" significa identici, ovvero tali da determinare la stessa figura geometrica. Le "libere parole" affermavano proprio questo ragionamento. Se ho un quadrato fatto con il primo tipo di segmenti ed un altro fatto con il secondo tipo di segmenti, l'area è la stessa?

O ancora, se metto due segmenti NON comprendenti gli estremi uno davanti all'altro, ad esempio:

2<x<3

3<x<4

La lunghezza complessiva derivante dalla loro somma quanto vale? Perchè il punto 3 non appartiene ai segmenti, e costituisce un punto di separazione, di "vuoto", tra i due. La lunghezza sarà comunque 2? Ovvero la stessa della somma dei segmenti:

2<=x<=3

3<=x<=4

[gugo82]

No, “uguali” non significa quello che intendi tu.