serie con parametro

Messaggioda Rebb10 » 23/08/2019, 11:36

Come posso trattare questa serie con parametro reale?
$\sum_{n=1}^\infty\log(1+x^(2n)/(2^n +1))$ precisando quando la convergenza è assoluta, al variare del parametro reale $x$
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Re: serie con parametro

Messaggioda Mephlip » 23/08/2019, 11:39

Prova a verificare la condizione necessaria di convergenza, da quella potresti dedurre il comportamento asintotico del termine generale e provare ad attaccarla con un confronto asintotico.
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Re: serie con parametro

Messaggioda pilloeffe » 23/08/2019, 12:06

Ciao Rebb10,

Per la serie proposta convergenza semplice ed assoluta coincidono, essendo senz'altro a termini positivi (la $x $ è al quadrato), quindi può convergere se $\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = 0 $
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Re: serie con parametro

Messaggioda Rebb10 » 23/08/2019, 15:47

Si, su questo ci sono ma con quale criterio posso risolverla?
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Re: serie con parametro

Messaggioda pilloeffe » 23/08/2019, 19:08

Col criterio del confronto, ricordando che $ log(1 + t) < t $, o col confronto asintotico come ti ha già suggerito Mephlip. Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $ \lim_{n \to +\infty} a_n(x) = 0 \iff |x| <= 1 $
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Re: serie con parametro

Messaggioda Mephlip » 23/08/2019, 20:32

La C.N. non è verificata per $|x| \leq \sqrt{2}$? :D
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Re: serie con parametro

Messaggioda pilloeffe » 23/08/2019, 20:46

Non mi pare, se $x = sqrt{2} $ si ha $\lim_{n \to +\infty} log(1 + x^{2n}/(2^n + 1)) = log2 \ne 0 $
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Re: serie con parametro

Messaggioda Mephlip » 23/08/2019, 20:51

Sì, ho fatto un typo :D senza l'uguaglianza, ovvero credo che la C.N. sia verificata per $|x| < \sqrt{2}$, sto delirando? :roll:
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Re: serie con parametro

Messaggioda pilloeffe » 23/08/2019, 22:43

No non stai delirando, hai ragione... :wink:
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