Versori complanari ad altri due

Messaggioda printException » 23/08/2019, 14:24

Buongiorno a tutti,

sto tentando di risolvere il seguente esercizio:
Dati i vettori $mathbf(u)=(1,1,0)$ e $mathbf(v)=(0,-1,1)$ appartenenti a $mathbb(V)^3$, determinare i versori di $mathbb(V)^3$ che siano complanari a $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$ e ortogonali a $mathbf(u)+mathbf(v)$.

Io ho iniziato l'esercizio ponendo il determinante della matrice

$| ( x, y, z), (1, 1, 0), (0, -1, 1)| = 0$

ed ho ottenuto $x-y-z=0$
tuttavia sono bloccato in questo punto dell'esercizio.

Ringrazio tutti per l'attenzione.
Ultima modifica di gugo82 il 23/08/2019, 16:40, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemate le formule.
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda gugo82 » 23/08/2019, 16:00

Innanzitutto, fatti un’idea.
Secondo te esistono versori che hanno quelle proprietà? Se sì, quanti? Se no, perché?

Poi, hai imposto la condizione di complanarità, i.e. di dipendenza lineare, dei versori $mathbf(w)$ incogniti con i vettori assegnati $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$.
Questa è una sola delle condizioni da imporre su $mathbf(w)$. Quali sono le altre?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda printException » 23/08/2019, 17:53

Innanzitutto grazie per la risposta, riguardo le altre condizioni da imporre ho pensato che siano

norma del vettore=1 quindi $x^2+y^2+z^2=1$
e poi andrebbe imposta la condizione di ortogonalità ma l'unico modo che conosco per imporla é che il prodotto scalare debba valere zero.
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda gugo82 » 24/08/2019, 13:36

Appunto… Per la norma, Ok.

Per il prodotto scalare, che ci vuole? Sono sicuro che sono cose che conosci e riesci a metterle insieme in due secondi.
Quali sono le componenti di $mathbf(u) + mathbf(v)$? E come si calcola $(mathbf(u) + mathbf(v)) * mathbf(w)$?
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda printException » 24/08/2019, 14:06

Quindi dovrei imporre un sistema con le due condizioni precedentemente dette
${x-y-z=0 ;x^2+y^2+z^2=1$

Se ho ben capito, la soluzione di questo sistema dovrei porla come prodotto scalare con $u+v$.

Sarebbe corretto anche fare $(x-y-z)*(u+v)=0$ ed infine normalizzare il vettore?

è corretto o sbaglio qualcosa?
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda gugo82 » 24/08/2019, 15:13

Non va bene e, francamente, non capisco la logica.

Vuoi determinare un vettore $mathbf(w) =(x,y,z)$ (qui immagino che si stia lavorando in una base scelta opportunamente) in modo che siano soddisfatte contemporaneamente tre condizioni:

  1. $mathbf(w)$ dipende linearmente da $mathbf(u) = (1,1,0)$ e da $mathbf(v) = (0,-1,1)$;

  2. $mathbf(w)$ è ortogonale a $mathbf(u) + mathbf(v)$;

  3. $mathbf(w)$ è un versore, cioè $|mathbf(w)| = 1$.

Tali condizioni forniscono altrettante equazioni, poiché infatti esse sono equivalenti a:

  1. $|(x, y, z), (1, 1, 0), (0, -1, 1)| = 0 <=> x - y - z = 0$;

  2. $(mathbf(u) + mathbf(v)) * mathbf(w) = 0$;

  3. $x^2 + y^2 + z^2 = 1$;

e, visto che esse devono valere contemporaneamente, vanno messe a sistema per determinare le tre componenti di $mathbf(w)$.

L’unico problema che rimane aperto (ancora per poco, si spera) è scrivere la 2 in modo da avere anche lì un’equazione in $x$, $y$ e $z$.
Riesci a farlo?

Dopodiché, risolvi il sistema ed hai finito.

Tuttavia, prima di buttarsi a fare conti, sarebbe buona norma riflettere su ciò che ti aspetti come risultato.
È possibile che esistano tali vettori $mathbf(w)$? Se sì, quanti ne potrebbero esistere? Se no, perché?
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda printException » 24/08/2019, 16:05

Quindi se non vado errato otterrei
1. $x-y-z=0$
2. $x-z=0$
3. $x^2+y^2+z^2=1$

Da cui
1. $y=0$
2. $x=z$
3. $z=+-sqrt(1/2)$

È tutto giusto, vero?
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda Bokonon » 24/08/2019, 19:11

printException ha scritto:Quindi se non vado errato otterrei

Da cui
1. $y=0$
2. $x=z$
3. $z=+-sqrt(1/2)$

È tutto giusto, vero?

Nope.
Le condizioni sono:
1. $x-y-z=0$
2. $x+z=0$
3. $x^2+y^2+z^2=1$

Perchè non segui l'ottimo consiglio di Gugo?
Fai un disegno di questo tipo e realizzi immediatamente che i due versori devono essere del tipo $w$ e $-w$.
Immagine
Se ignoriamo per ora che debba essere un versore e ci concentriamo sul generico vettore di direzione $w$, sappiamo che $w=alphau+betav$ perchè deve stare sul piano.
Da cui sappiamo che $(alphau+betav)^T(u+v)=0$
Sostituendo diventa $(alpha, alpha-beta, beta)( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=0$
Che ci da la condizione $alpha+beta=0$ per cui prendiamo ad esempio $alpha=1$ e $beta=-1$ e otteniamo il vettore di direzione $w=(1, 2, -1)$.
Normalizzandolo otteniamo i versori $w=(1/sqrt(6), 2/sqrt(6), -1/sqrt(6))$ e $-w=(-1/sqrt(6), -2/sqrt(6), 1/sqrt(6))$

Questo è un metodo di soluzione/ragionamento alternativo al sistema.
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda printException » 24/08/2019, 20:23

Con il disegno effettivamente mi è tutto più chiaro, ultima (questa volta per davvero) domanda, i valori di alfa e beta sono puramente arbitrari?
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Re: Versori complanari ad altri due

Messaggioda Bokonon » 24/08/2019, 22:50

Beh ma si tratta di una direzione, quindi è normale che tutti i multipli di $w$ soddisfino la condizione di ortogonalità.
Nel caso specifico, la relazione è $alpha+beta=0$ quindi $beta=-alpha$ ergo c'è un solo grado di libertà (fissato un parametro l'altro è univocamente definito).

Che significa geometricamente parlando?
$w=alphau+betav=alphau-alphav=alpha(u-v)$
Significa quindi che (in questo caso) il nostro vettore di direzione $w$ è semplicemente $(u-v)$ ed ogni suo multiplo è perpendicolare a $u+v$...incluso il valore di $alpha=1/(||u-v||)$ che lo rende un versore.

Puoi anche completare il disegno ed esplorare. Troverai che l'angolo fra $u$ e $u+v$ è di 60° mentre quello fra $u$ e $w$ è di 30°.
Esplora...
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