Pendolo che si accorcia

Messaggioda dRic » 23/08/2019, 23:12

Ciao a tutti, è da un po' che mi sto scervellando su questo problema. Ho un pendolo la cui lunghezza viene ridotta con velcoità costante e *molto lentamente* come in figura.

Immagine

Vorrei dimostrare che dall'istante $t_1$ in cui $\theta = 0$ all'istante $t_2$ in cui il pendolo è di nuovo in $\theta = 0$ vale
$$\Delta E = - \frac 1 2 \frac {\Delta l}{l} E$$
dove $E$ è l'energia costante dell'oscillazione non disturbata.

Ho provato veramente di tutto... Ormai è una settimana che mi ci arrovello e non riesco a venirne a capo. Qualche idea ?
dRic
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda mgrau » 24/08/2019, 10:11

Sicuro che l'energia diminuisca? E che $theta_(max)$ resti costante, come pare dalla tua figura?
A sensazione, mi pare che si debba compiere lavoro per accorciare il filo.
mgrau
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda caffeinaplus » 24/08/2019, 11:47

Ciao,
non sono riuscito ad arrivare alla soluzione, però ti lascio qualche idea:

Puoi studiare il moto nelle due situazioni, ovvero

Nell'istante iniziale ha solo energia cinetica, trovandosi a quota zero, quindi $U_i=0, K_i=1/2mv_1^2$

Mentre nell'istante in cui torna all'assetto iniziale $U_f=mgDeltal, K_f=1/2mv_f^2$

Ma sappiamo che allora

$1/2mv_i^2 = mgl(1-cos(theta))$
$1/2mv_f^2 = mgl_2(1-cos(theta))$

Il loro rapporto ci da

$v_f^2=l_2/lv_i^2$

Ora, utilizzando quanto trovato

$DeltaE = DeltaU + DeltaK = mgDeltal +1/2mv_i^2((Deltal)/l)=mgDeltal+(Deltal)/l*E_i$

Non so se si possa fare qualche altra considerazione su $mgDeltal$ per far saltare fuori quanto richiesto, però anche io penso che l'energia in generale aumenti piuttosto che diminuire dato che ne "assorbe" dal campo gravitazionale :smt023
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda dRic » 24/08/2019, 13:28

mgrau ha scritto:Sicuro che l'energia diminuisca? E che $theta_(max)$ resti costante, come pare dalla tua figura?
A sensazione, mi pare che si debba compiere lavoro per accorciare il filo.


No. L'ampiezza massima aumenta. Quelle line che ho disegnato mi servivano solo per un giochino strano che facevo sui $dl$. In effetti potevo mettere un disegno più chiaro. Inoltre l'energia non diminuisce ma aumenta perché $\Delta l < 0$ quindi il segno meno serve solo a quello.

@caffeinaplus Non ho letto tutti i passaggi, ho dato uno sguardo veloce, ma robe del genere le ho provare e riprovate in tutte le salse. Magari c'è qualcosa che non vedo. Non ne vengo a capo.
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda Masaki » 24/08/2019, 15:37

Ciao! Io ti mostro quello a cui sono arrivato (che non è il risultato che hai riportato) e poi ne discutiamo.

Supponiamo di avere un corpo puntiforme di massa $m$ attaccato ad un pendolo la cui lunghezza è data dalla legge oraria $l(t)= \alpha t + l_0$ con $|\alpha| \approx 0$. In un sistema di riferimento inerziale $\mathcal{I}$, utilizzando come coordinata lagrangiana l'angolo $\theta$ che il filo forma con la verticale, abbiamo che la Lagrangiana del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2}m \bigg(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2 \bigg) - mgl(t)\bigg(1-cos\big(\theta(t)\big)\bigg)
\end{equation}

Poiché sappiamo che $|\alpha| \approx 0$, trascuriamo i termini di ordine superiore al primo in $\alpha$ ed otteniamo:
\begin{equation}
\mathcal{L}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) - mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
Di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) + mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
che coincide con la funzione di Hamilton $\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} \dot{\theta } - \mathcal{L}$, ma non possiamo utilizzare il teorema di Jacobi per determinare la variazione di Energia in quanto i vincoli del sistema (in questo caso il filo) dipendono esplicitamente dal tempo. L' equazione del moto, data dalle equazioni di Eulero-Lagrange:

\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\theta}} =0\\
\frac{d \theta}{dt} = \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}
è:
\begin{equation}
m(2 l_0 \alpha t +l_0^2)\ddot{\theta} + 2ml_0 \alpha \dot{\theta}+ mg(\alpha t + l_0) \sin(\theta)=0
\end{equation}
che per $\alpha =0$ è esattamente la solita equazione del moto del pendolo. Tale modello vale evidentemente fino a quanto $l(t)>0$. Tale equazione è irrisolvibile in modo analitico, tuttavia facendo qualche supposizione ulteriore possiamo determinare i comportamenti del sistema per qualche configurazione particolare.

Supponiamo che $l_0 + \alpha t \approx l_0$ per un tempo "sufficientemente lungo", allora l'equazione diventa:

\begin{equation}\label{pend}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \sin(\theta)
\end{equation}

Tale equazione rappresenta il moto di un pendolo con un' "attrito viscoso positivo" ($\alpha<0$), che tende ad aumentare l'energia del sistema. In virtù di ciò l'approssimazione di piccoli angoli, risulta inefficace per tempi lunghi (in quanto l'arrotolare del filo tende ad aumentare l'energia massima del sistema ed a "far scappare" il punto rappresentativo del sistema nello spazio delle fasi fuori da ogni compatto). Di contro se il pendolo si allungasse potremmo utilizzare efficacemente tale approssimazione ottenendo come soluzioni:

\begin{equation}
\theta(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} cos(\omega_0 t + \phi)
\end{equation}

Siccome stiamo osservando il sistema dopo un periodo, è ragionevole poter utilizzare l'approssimazione $\sin(\theta) \approx \theta$, per cui l'equazione \eqref{pend}, diventa quella di un oscillatore armonico "smorzato":
\begin{equation}\label{armos}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \theta
\end{equation}

Posto $\gamma = -\frac{2 \alpha}{l_0}$ e $\omega_0^2 = \frac{g}{l_0}$, possiamo risolvere questa equazione usando il polinomio caratteristico, ottenendo come equazione algebrica associata ad \eqref{armos}:

\begin{equation}
\lambda^2 - \gamma \lambda + \omega_0^2 =0
\end{equation}
Le cui soluzioni sono:
\begin{equation}
\lambda_{1,2} = \frac{\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -4 \omega_0^2}}{2}
\end{equation}
Poiché $\alpha^2< g$, le soluzioni di \eqref{armos} sono dei moti armonici modulati da esponenziali crescenti $\prop e^{\gamma/2}$; di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{\frac{\gamma t}{2}} = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{-\frac{\alpha t}{l_0}}
\end{equation}
Approssimando l'esponenziale al primo ordine otteniamo che:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} \bigg(1 - \frac{\alpha t}{l_0} \bigg)
\end{equation}
Detta $\mathcal{E}_0 = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0}$, abbiamo che:
\begin{equation}
\Delta{\mathcal{E}} \approx \mathcal{E}_0 \frac{l_0-l}{l_0}
\end{equation}

Non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$. Fammi sapere!
Ultima modifica di Masaki il 28/08/2019, 17:53, modificato 2 volte in totale.
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda dRic » 24/08/2019, 15:59

@Masaki, ora non ho il tempo di controllare tutti i passaggi in maniera dettagliata, ma lo farò senz'altro stasera. L'unica cosa che mi premeva dire è che, la tua Lagrangiana non è la stessa da cui sono partito io. Secondo me il termine $2l \dot l \theta \dot \theta$ lo potresti anche levare. Io come lagrangiana ho scritto semplicemente
$$L = \frac 1 2 m (\dot l^2 + l^2 \dot \theta^2) - mgl \frac {\theta^2} 2$$
(dove ho usato l'approssimazione di angoli piccoli).
Questa lagrangiana, secondo me, la puoi ricavare facilmente pensando ad un corpo che si muove in 2D in coordinate polari (la cui energia cinetica è dunque $T = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \theta ^2)$) aggiungendo la condizione (il vincolo) $r = ct$ dove $c$ è la velocità con cui si accorcia il filo. Eliminando la variabile $r$ ottengo la lagrangiana di partenza.

Magari partendo da questa Lagrangiana i conti si semplificano.

PS: il libro da cui ho tratto l'esercizio sembrerebbe che inviti ad usate il "teorema dell'energia" ovvero $$\Delta E = \int_{t_1}^{t_2} \frac {\partial L}{\partial t} dt$$ soltanto che, ahimè, non riesco a calcolare quel rognoso integrale.

PSS: comunque grazie mille per aver l'impegno messo nella risposta. Devi averci messo un bel po' a calcolare tutto quanto!! Grazie mille :) !
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda Masaki » 24/08/2019, 16:31

Si si può omettere perché è esprimibile come derivata totale nel tempo di una funzione che dipende da $\theta$ e $t$ (infatti se noti non dà contributi alle equazioni del moto). In effetti aveva senso usare l'espressione in polari, senza stare li a fare i conti esplicitamente. Sono un po' arrugginito di Meccanica Analitica. Comunque ai fini delle equazioni del moto il risultato è identico (e tra l'altro a conferma di ciò il fatto che per $\alpha=0$ tornano le equazioni del pendolo matematico).

1) Non saprei se tu possa usare quell'identità lì, perché non siamo nelle ipotesi del teorema di Jacobi.
2) Figurati, come sempre si impiega molto più tempo a scrivere in latex che a fare i conti. Poi l'esercizio era molto carino e mi aveva preso
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Messaggioda Sergeant Elias » 24/08/2019, 16:59

Il problema posto è facilmente risolvibile affrontando la teoria degli invarianti adiabatici. Infatti, per un oscillatore armonico:

Invariante adiabatico I

$[I=E/\omega] ^^ [\omega=sqrt(g/l)] rarr [I=Esqrt(l/g)]$

Non resta che differenziare rispetto alle due variabili $E$ e $l$:

$[\DeltaI=0] rarr [\DeltaE*sqrt(l/g)+E*1/2sqrt(g/l)1/g\Deltal=0] rarr [(\DeltaE)/E=-1/2(\Deltal)/l]$

Ad ogni modo, meglio avere almeno un riferimento bibliografico:

Landau, Meccanica

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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda dRic » 24/08/2019, 17:41

@Sergent Elias Grazie mille! Purtroppo questa teoria degli invarianti adiabatici mi è nuova e a giudica dall'indice del libro che sto leggendo non è contenuta nel mio libro. Cercherò di vedere cosa dice il Landau. Grazie ancora!
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Re: Pendolo che si accorcia

Messaggioda dRic » 25/08/2019, 03:47

Masaki ha scritto:Si si può omettere perché è esprimibile come derivata totale nel tempo di una funzione che dipende da θ e t (infatti se noti non dà contributi alle equazioni del moto).

Comunque non ho ben capito questa cosa. Che non dà contributi alle equazioni di moto di moto l'ho verificato per brutale differenziazione, ma non ho capito il motivo fisico che ci sta dietro. Se per esempio la lunghezza del raggio cambiasse con funzione arbitraria $l=f(t)$ il termine non mi pare vada via. Però, procedendo come ho fatto io, ragionando sul moto in coordinate polari quel termine non salta proprio fuori... Dove starebbe l'inghippo ?
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