Spazi Affini - Dubbi su utilizzo e significato

[burton-kun]

Salve a tutti!

Sto preparando un esame e sto avendo forti difficoltà nella piena comprensione di un argomento: gli spazi affini.
Raccolgo i miei dubbi in vari punti così da essere il più chiaro possibile:

1. Che tipo di struttura algebrica rappresentano? Sono una generalizzazione degli spazi vettoriali o si collocano in una posizione completamente nuova rispetto a questi?
2. Dove sta la loro utilità? Per quale motivo, ad un certo punto, c'è bisogno di passare dagli spazi vettoriali agli spazi affini?
3. Alla domanda precedente mi sono sentito rispondere che negli spazi affini non c'è un punto privilegiato, elemento che invece compare negli spazi vettoriali. Perché questo punto privilegiato sarebbe così limitante? Come mai si sente la necessità di perderlo?

In parole povere, quali sono le operazioni e i vantaggi che ho negli spazi affini e non ho negli spazi vettoriali?
Nessuno fino ad ora è riuscito a spiegarmi in modo esaustivo e a farmi capire fino in fondo il concetto. Sembra quasi che nessuno li abbia capiti davvero e ci ragioni per inerzia.

Spero di trovare risposte qui, ringrazio chiunque avrà la pazienza di spiegarmi.

[dissonance]

https://www.google.com/url?q=ftp://ftp. ... IWpLfMBP1X

Prova a dare una occhiata

[burton-kun]

Purtroppo non ho trovato le risposte che cercavo.

[anto_zoolander]

tempo fa mi chiesi le stesse cose

Le motivazioni che hanno portato all'introduzione di questi enti sono molteplici, tra cui

- dare una generalizzazione analitica di tutta la geometria elementare
- staccarsi dall'origine
- trattare insiemi del tipo ${v in V: L(v)=w}$ con $L:V->W$ omomorfismo di spazi e $w in W$ fissato

partiamo dalla definizione di spazio affine

supponi di avere un insieme $X$ non vuoto e uno spazio vettoriale $V$ per cui esista una funzione

$a:XtimesX->V$ si pone $a(P,Q):=vec(PQ)$ o $a(P,Q)=Q-P$

che gode delle seguenti proprietà

1. il classico "metodo punta-coda"

$a(P,Q)=a(P,R)+a(R,Q)$ per ogni $P,Q,R in X$

2. il poter fissare un sistema di riferimento

per ogni $O in X$ l'applicazione $varphi(P)=a(O,P): X->V$ è invertibile

sulla geometria elementare
Si possono dimostrare i seguenti teoremi

- per ogni coppia di punti esiste un'unica retta che passa per quei due punti
- per ogni terna di punti esiste un'unico piano che passa per quei tre punti
- il quinto postulato di Euclide e generalizzarlo
- il teorema di Talete

sulle equazioni
ogni equazione del tipo di sopra può essere vista negli spazi affini come

$Sigma={P in X: L(vec(OP))=w}$ che coincide con $P_0+Ker(L)$

questo è uno spazio affine.
Quindi per una applicazione lineare $L:V->W$ tra spazi vettoriali, dato un vettore $w in W$, la controimmagine di $w$, se non vuota, è $L^(leftarrow)(w)={v in V: L(v)=w}=v_0+Ker(L)$ è un sottospazio affine di $V$(dotato della usuale struttura affine con $a(v,w)=w-v$)

staccarsi dall'origine
Questo permette di introdurre il concetto di parallelismo che non è una cosa così banale infatti se non si facesse questa cosa non potrebbe venir definita una nozione di tangenza sfruttando gli spazi vettoriali

Come vedi sia la definizione che le relative conseguenze della definizione di spazio affine hanno senso e non sono prive di significato; sopratutto se vuoi utilizzare gli spazi vettoriali per parlare di geometria.

anche in analisi la si ritrova

quando hai una curva $varphi:(a,b)->RR^2$ differenziabile in un certo $t_0$ si ottiene

$varphi(t)=varphi(t_0)+dvarphi(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0)$

l'applicazione $dvarphi(t_0):RR->RR^2$ è una applicazione lineare continua e in particolare è ancora una curva

puoi notare che $varphi(t_0)+Ker(dvarphi(t_0))$ è proprio il sottospazio affine individuato dalla retta tangente.

[marco2132k]

Ciao. Non puoi pensare che troverai da me o in un post di un forum qualche pretesa di completezza. Cerco direstare sull'intuitivo.

1. Ad ora non te lo so inquadrare in un contesto più generale. Uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano \( \left(V,{+}\right) \) su cui agisce il gruppo moltiplicativo di un campo. Questo vuol dire che 1) si presume abbia senso, dal lato semantico, mettere insieme elementi di \( V \) in un modo che sia riconducibile al comportamento dell'addizione, quella "sui numeri"; 2) gli elementi del campo possono in qualche modo "riscalare" gli elementi di \( V \). Non sono esattamente fresco in questo momento, ma un'azione di un gruppo \( G \) su un insieme \( E \) è una mappa \( \alpha\colon G\times E\to E \) che manda le coppie \( \left(1_G,x\right) \) in \( x \), e tale che \( \alpha(h,\alpha(g,x))=\alpha(hg, x) \). Pensa, se vuoi, ad ogni elemento di \( G \) come ad un bottone di una pulsantiera; allora l'azione, scelto un elemento di \( E \), lo mappa in un altro, in base a quale tasto hai premuto. La giustificazione della formula adesso è evidente.

Lo spazio \( \mathscr{E} \) della geometria classica è in corrispondenza biunivoca con \( \mathbb{R}^3 \), attraverso la scelta di un sistema di coordinate. È la struttura dell'\( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale \( \mathbb{R}^3 \) ad essere superflua, in questo caso: perché ha senso sommare "segmenti orientati" con la regola del parallelogramma (che diventa \( \left(\big(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\big), \big(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{smallmatrix}\big)\right)\mapsto\big(\begin{smallmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+x_3\end{smallmatrix}\big) \) ), mentre non ne ha un'eventuale somma di "punti", o di triple che a questi punti son fatte corrispondere.

Uno spazio affine è un insieme \( E \) ove agisca in modo transitivo e libero il gruppo additivo di uno spazio vettoriale. Libertà e transitività intendono codificare le propriet๠di quella che in \( E=\mathbb{R}^3 \), inteso come modello per \( \mathscr{E} \), e dunque privato di ogni struttura, è la fantomatica operazione di "applicazione di un vettore ad un punto". Vediamo come. Un'azione di \( G \) su un insieme qualunque \( E \) è detta transitiva se per ogni coppia di elementi di \( E \) esiste un \( g\in G \) tale che \( y \) sia l'immagine della coppia \( (g,x) \) attraverso l'azione di \( G \). Se \( (V,+) \) è un insieme di "vettori geometrici", e \( E \) è un insieme di "punti dello spazio", è auspicabile che ogni suo punto sia raggiungibile "attaccando una freccia ad hoc ad un altro". Per quanto riguarda il secondo punto, la libertà dell'azione, ciò significa semplicemente l'unico vettore a lasciare invariato un punto è \( 0_V \).

Un'azione transitiva e libera è semplicemente transitiva, ossia quel \( g\in G \) che \( y=gx \) ogniqualvolta siano presi \( x,y\in E \) è unico. Tale elemento è denotato con il simbolo \( y-x \) (ne riesci a vedere un significato geometrico?). Se \( E \) è uno spazio affine, \( y-x \) è un vettore, come è un vettore la velocità. Epperò non esiste il vettore posizione, perché avrebbe poco senso.

---

Note

1. Dovrei approfondire, qui; io, intendo. ↑

[burton-kun]

Ringrazio entrambi per le risposte, apprezzo davvero il tempo che mi avete dedicato, però:

Ciao. Non puoi pensare che troverai da me o in un post di un forum qualche pretesa di completezza. Cerco direstare sull'intuitivo.

No, no tranquillo. Non mi aspetto la risposta completa, spero solo di trovare nei vostri ragionamenti o in tutte le altre fonti che sto consultando, quel passaggio chiave che possa aiutarmi ad avviare il ragionamento e arrivare alla completezza. Purtroppo non l'ho ancora trovato.

1. Ad ora non te lo so inquadrare in un contesto più generale. Uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano \( \left(V,{+}\right) \) su cui agisce il gruppo moltiplicativo di un campo. Questo vuol dire che 1) si presume abbia senso, dal lato semantico, mettere insieme elementi di \( V \) in un modo che sia riconducibile al comportamento dell'addizione, quella "sui numeri"; 2) gli elementi del campo possono in qualche modo "riscalare" gli elementi di \( V \). Non sono esattamente fresco in questo momento, ma un'azione di un gruppo \( G \) su un insieme \( E \) è una mappa \( \alpha\colon G\times E\to E \) che manda le coppie \( \left(1_G,x\right) \) in \( x \), e tale che \( \alpha(h,\alpha(g,x))=\alpha(hg, x) \). Pensa, se vuoi, ad ogni elemento di \( G \) come ad un bottone di una pulsantiera; allora l'azione, scelto un elemento di \( E \), lo mappa in un altro, in base a quale tasto hai premuto. La giustificazione della formula adesso è evidente.

Lo spazio \( \mathscr{E} \) della geometria classica è in corrispondenza biunivoca con \( \mathbb{R}^3 \), attraverso la scelta di un sistema di coordinate. È la struttura dell'\( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale \( \mathbb{R}^3 \) ad essere superflua, in questo caso: perché ha senso sommare "segmenti orientati" con la regola del parallelogramma (che diventa \( \left(\big(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\big), \big(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{smallmatrix}\big)\right)\mapsto\big(\begin{smallmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+x_3\end{smallmatrix}\big) \) ), mentre non ne ha un'eventuale somma di "punti", o di triple che a questi punti son fatte corrispondere.

Uno spazio affine è un insieme \( E \) ove agisca in modo transitivo e libero il gruppo additivo di uno spazio vettoriale. Libertà e transitività intendono codificare le propriet๠di quella che in \( E=\mathbb{R}^3 \), inteso come modello per \( \mathscr{E} \), e dunque privato di ogni struttura, è la fantomatica operazione di "applicazione di un vettore ad un punto". Vediamo come. Un'azione di \( G \) su un insieme qualunque \( E \) è detta transitiva se per ogni coppia di elementi di \( E \) esiste un \( g\in G \) tale che \( y \) sia l'immagine della coppia \( (g,x) \) attraverso l'azione di \( G \). Se \( (V,+) \) è un insieme di "vettori geometrici", e \( E \) è un insieme di "punti dello spazio", è auspicabile che ogni suo punto sia raggiungibile "attaccando una freccia ad hoc ad un altro". Per quanto riguarda il secondo punto, la libertà dell'azione, ciò significa semplicemente l'unico vettore a lasciare invariato un punto è \( 0_V \).

Un'azione transitiva e libera è semplicemente transitiva, ossia quel \( g\in G \) che \( y=gx \) ogniqualvolta siano presi \( x,y\in E \) è unico. Tale elemento è denotato con il simbolo \( y-x \) (ne riesci a vedere un significato geometrico?). Se \( E \) è uno spazio affine, \( y-x \) è un vettore, come è un vettore la velocità. Epperò non esiste il vettore posizione, perché avrebbe poco senso.

Purtroppo non c'è stato nulla che mi abbia veramente convinto. Le domande che ho posto sono ancora aperte. Il mio problema non è capire cosa sia uno spazio affine, uno spazio vettoriale o le applicazioni e azioni definite al loro interno, ma perché si passi allo spazio affine e cosa offre questo rispetto allo spazio vettoriale.

tempo fa mi chiesi le stesse cose

Le motivazioni che hanno portato all'introduzione di questi enti sono molteplici, tra cui

- dare una generalizzazione analitica di tutta la geometria elementare
- staccarsi dall'origine
- trattare insiemi del tipo $ {v in V: L(v)=w} $ con $ L:V->W $ omomorfismo di spazi e $ w in W $ fissato

partiamo dalla definizione di spazio affine

supponi di avere un insieme $ X $ non vuoto e uno spazio vettoriale $ V $ per cui esista una funzione

$ a:XtimesX->V $ si pone $ a(P,Q):=vec(PQ) $ o $ a(P,Q)=Q-P $

che gode delle seguenti proprietà

1. il classico "metodo punta-coda"

$ a(P,Q)=a(P,R)+a(R,Q) $ per ogni $ P,Q,R in X $

2. il poter fissare un sistema di riferimento

per ogni $ O in X $ l'applicazione $ varphi(P)=a(O,P): X->V $ è invertibile

sulla geometria elementare
Si possono dimostrare i seguenti teoremi

- per ogni coppia di punti esiste un'unica retta che passa per quei due punti
- per ogni terna di punti esiste un'unico piano che passa per quei tre punti
- il quinto postulato di Euclide e generalizzarlo
- il teorema di Talete

sulle equazioni
ogni equazione del tipo di sopra può essere vista negli spazi affini come

$ Sigma={P in X: L(vec(OP))=w} $ che coincide con $ P_0+Ker(L) $

questo è uno spazio affine.
Quindi per una applicazione lineare $ L:V->W $ tra spazi vettoriali, dato un vettore $ w in W $, la controimmagine di $ w $, se non vuota, è $ L^(leftarrow)(w)={v in V: L(v)=w}=v_0+Ker(L) $ è un sottospazio affine di $ V $(dotato della usuale struttura affine con $ a(v,w)=w-v $)

staccarsi dall'origine
Questo permette di introdurre il concetto di parallelismo che non è una cosa così banale infatti se non si facesse questa cosa non potrebbe venir definita una nozione di tangenza sfruttando gli spazi vettoriali

Come vedi sia la definizione che le relative conseguenze della definizione di spazio affine hanno senso e non sono prive di significato; sopratutto se vuoi utilizzare gli spazi vettoriali per parlare di geometria.

anche in analisi la si ritrova

quando hai una curva $ varphi:(a,b)->RR^2 $ differenziabile in un certo $ t_0 $ si ottiene

$ varphi(t)=varphi(t_0)+dvarphi(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0) $

l'applicazione $ dvarphi(t_0):RR->RR^2 $ è una applicazione lineare continua e in particolare è ancora una curva

puoi notare che $ varphi(t_0)+Ker(dvarphi(t_0)) $ è proprio il sottospazio affine individuato dalla retta tangente.

Questa risposta si avvicina di più a quello che cercavo. Mi ha dato qualche spunto in più, soprattutto volevo chiederti: In che modo staccarsi dall'origine permette di introdurre il concetto di parallelismo? Anche negli spazi vettoriali euclidei abbiamo parlato di parallelismo, cosa di quella definizione non era sufficiente? Mi piacerebbe capire in modo concreto, anche con un esempio pratico, cosa posso fare negli spazi affini che non posso fare negli spazi vettoriali. Perché l'unica differenza che ho notato, è la grande libertà che si acquisisce negli spazi affini. Libertà che però non aggiunge nulla a quello che potevamo fare negli spazi vettoriali (di quello che ho visto, chiaramente).

Io penso che i limiti che sto incontrando nei confronti di questo argomento siano dovuti ad una mancanza di nozioni che si presuppone io debba acquisire in futuro con lo studio. Mi infastidisce molto, però, dover prendere per buona una definizione senza sapere per quale motivo la stiamo introducendo. Il perché delle cose. Esattamente quello che ci è stato tacitamente imposto a lezione.

---

Note

1. Dovrei approfondire, qui; io, intendo. ↑

[dissonance]

In realtà, non c'è nulla che tu possa fare in uno spazio affine che tu non possa fare in uno spazio vettoriale. Fissando un punto, e dichiarando che esso è l'origine, lo spazio affine diventa uno spazio vettoriale. Viceversa, uno spazio vettoriale è anche affine.

Quella di spazio affine è una nozione che ho studiato e che mi è servita concettualmente, ma in pratica non l'ho mai usata.

(Forse il concetto di spazio affine è una cosa utile in geometria algebrica, oppure come anticamera alla geometria proiettiva. É un tipo di matematica che purtroppo ho frequentato poco).

[burton-kun]

In realtà penso di aver trovato una "chiave di lettura" dell'argomento. Penso che il passaggio dagli spazi vettoriali agli spazi affini sia dovuto principalmente alla necessità di indipendenza. Mi spiego meglio: all'interno di uno spazio vettoriale, non importa quanti e quali sottospazi io scelga, alla fine si svilupperanno in modo "concentrico" rispetto a questo punto privilegiato che nel nostro caso è il vettore nullo.

(passatemi il termine "concentrico" anche se per niente adatto, non faccio riferimento ad alcuna forma o simmetria)

Qualunque sottospazio avrà in comune almeno il vettore nullo e questo non mi permette di lavorare al loro interno come sistemi indipendenti. E' come se, all'interno di una stanza, io avessi bisogno di operare alla scrivania ma ogni volta devo passare per la porta (non so se ha senso...).

All'interno degli spazi affini queste limitazioni non ci sono, perché non ho un punto privilegiato (e finalmente posso dirlo sapendo a cosa faccio riferimento). Quindi posso scegliere qualunque sottosistema, qualunque riferimento, in qualunque punto dello spazio affine, fissando un punto e un sottospazio vettoriale, ottenendo così un sottosistema fine a se stesso.

Questo posso farlo anche all'interno di sottospazi affini, pur essendo stati costruiti intorno ad un punto, nulla mi impedisce di scegliere un altro sottospazio affine in relazione allo stesso punto (avendo lo stesso effetto che avrei in uno spazio vettoriale) o scegliendo un altro punto, dunque un sottosistema indipendente a sua volta.

Chiaramente fatto questo ragionamento, tra gli spazi affini e gli spazi vettoriali, quelli che mi permettono di lavorare meglio con modelli reali, sono i primi. I secondi ricoprono una quantità di casi notevolmente ridotta.

Questa è la risposta che mi sono dato, secondo voi ha senso?

[Ancona]

Ti conviene dare un'occhiata a questa pagina: https://ncatlab.org/nlab/show/affine+space

La morale, come sempre, è guarda chi sono i morfismi. In particolare, il funtore dimenticante che prende uno spazio vettoriale e ti dà lo spazio affine sottostante, è fedele ed essenzialmente suriettivo. Perciò, se non fosse per il fatto che non ogni mappa di spazi affini è una mappa di spazi vettoriali, le due categorie sarebbero equivalenti.

Questo risponde alla tua domanda

cosa offre questo rispetto allo spazio vettoriale

, e la risposta è precisamente "più morfismi".

[burton-kun]

Grazie per il link, dovrò leggerlo con più attenzione ma quello che ho letto per il momento mi è sembrato molto utile.

Alla fine mi sono ritrovato parzialmente con il ragionamento al quale sono arrivato nel mio ultimo messaggio, mi ha permesso di addentrarmi nello studio degli spazi affini, ero totalmente bloccato. Al momento non ho più dubbi sulla loro utilità ed avendo affrontato anche le applicazioni affini, mi trovo con quello che dici.

Ringrazio tutti per l'aiuto.