preparando l'orale di analisi I ho tra i teoremi da dimostrare quello di Weierstrass che ci assicura min e max per una funzione continua in un intervallo chiuso limitato (abbastanza fondamentale
) , premetto che non riesco a frequentare le lezioni e che mi preparo da solo a casa dopo il lavoro quindi perdonamenti se ho qualche lacuna o non mi esprimo in modo rigoroso.Dagli appunti che ho delle lezioni, ma anche da libri di testo e da ciò che si trova in rete la dimostrazione del T di Weierstrass è sempre quella , si utilizza il concetto di successione limitata nell'intervallo chiuso limitato per estrarre una sottosuccessione convergente ecc...
Provandola per l'orale la trovo macchinosa , quasi faccio fatica a convicermene, allora pensandoci sopra ho pensato che per dimostrare il T di W mi basterebbe dimostrare che il codominio di f per ogni x $in$ [a,b] sia anchesso chiuso e limitato , per la caratterizzazione degli estremi conterrà i propri estremi (giusto?).
Che sia limitato si dimostra facilmente sfruttando l'ipotesi di continuità della funzione
ponendo per assurdo $\lim_{x \to \xo-}f(x) = lim_{x \to \x0+}f(x)= +infty $ , dichiaro praticamente che il cod non sia limitato ma questo porterebbe a una discontinuità di seconda specie per cui risulterebbe assurdo.
Ora per la dimostrazione che sia chiuso utilizzo il Teorema dei valori Intermedi , dove le ipotesi dei Valori intermedi sono verificate dalle ipotesi poste per Weierstrass, con risultato che per ogni $ y1,y2 in f[a,b]\ (con\ y1<y2) $ risulta $[y1,y2] sube f[a,b]$
l intervallo f[a,b] risulta quindi limitato e chiuso contenendo così i propri estremi.
Spero di non aver scritto una "bestemmia"
ringrazio tutti quelli che interverranno per aiutarmi a capire i miei errori e mi scuso ancora per la poco rigorosità
un saluto a tutti
