Si consideri il seguente integrale:
\(\displaystyle I = \iint_{D} |\cos(x+y)| dxdy \)
da risolvere sul dominio:
\(\displaystyle D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq x\leq \pi, 0\leq y \leq \pi\}. \)
Per semplificare l'integranda, ho considerato la trasformazione:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
u = x+y \\
v = x
\end{matrix}\right. \)
il cui determinante Jacobiano in modulo risulta di valore unitario.
Dalle informazioni del dominio, ricavo che \(\displaystyle 0\leq x+y \leq 2\pi \), quindi il nuovo dominio risulta essere:
\(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u \leq 2\pi\} \).
Impostando finalmente il nuovo integrale, risulta:
\(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} dv \int_{0}^{2\pi} |\cos (u)| du = \pi\int_{0}^{2\pi} |\cos (u)| du \)
L'integrale del coseno si svolge semplicemente spezzando l'intervallo di integrazione, in modo tale da togliere il valore assoluto. Il risultato che ottengo è $4\pi$, quando in realtà dovrebbe risultare $2\pi$.
Quali sono gli errori in questo procedimento? Vi ringrazio.