Variabile aleatoria composita

[ingetor]

E' data una v.a. $X ~ N(0,1)$ e una v.a. $Y$ tale che: $Y(\omega) =$
\begin{cases} X(\omega) & -1<=X(\omega)<=1,\\ 0 & altrove \end{cases}

Trovare la legge $F_{Y}$ espressa in funzione della Gauss std $\phi(t)$¹.
$\mathbb{P}_Y$ è assolutamente continua?

Ho impostato la funzione di ripartizione come in seguito: $F_{Y}(t)$=
\begin{cases} \phi(t) - \phi(-1) & -1<=X(\omega)<=1,\\ 0 & altrove \end{cases}

Per il secondo punto, mi verrebbe da dire che la misura $\mathbb{P}_Y$ non può essere assolutamente continua a causa dei punti -1 e 1.

A voi la palla.

---

Note

1. Scusate la simbologia del nostro professore, so che voi usate la $\Phi$ ↑

[ingetor]

$F_{Y}(t)$=
\begin{cases} 0&se& t<-1,\\\phi(t)-\phi(-1)&se &-1<=t<0,\\\phi(t)-\phi(1) &se& 0<=t<1 ,\\ 1 & se& t>1 \end{cases}

Perché assomigli alla soluzione nella seconda equazione è $\phi(t)+\phi(1)-1$ e nella terza $\phi(t)-\phi(1)+1$

[ingetor]

Si sulla distribuzione ciò è corretto, avevo un po' traviato l'obbiettivo che è la legge (CDF) $F_{Y}(t)$: in ogni caso ancora mancano quelle costanti addittive che mi hanno mandato in banana.
E non capisco perché la distribuzione non è assolutamente continua a causa di t=0 invece che t=-1 e t=1.

[ingetor]

No, non lo è. Infatti ho sbagliato a scrivere il testo...

[ingetor]

Boh non ho capito se hai capito. Quali valori può assumere $Y$ e con quali probabilità?

Inoltre quella non è una funzione di ripartizione accettabile, perché dipende da $\omega$, possibilmente assume valori maggiori di uno, non si capisce neanche come disegnarla una roba così.

Ripartiamo da qui.
La funzione di ripartizione viene così:
$F_{Y}(t)=$¹²
\begin{cases} 0&se& t<-1,\\\phi(t)+(\phi(1)-1 )&se &-1<=t<0,\\\phi(t)+(1-\phi(1)) &se& 0<=t<1 ,\\ 1 & se& t>=1 \end{cases}

Ora si può vedere anche a occhio che il $ lim_(t -> 0^-) F_{Y}(t) != lim_(t -> 0^+) F_{Y}(t) $ e poiché vi è una discontinuità in 0, la distribuzione $\mathbb{P}_{Y}$ non è assolutamente continua.

---

Note

1. $\phi(1)-1=-\phi(-1)$ è un termine correttivo usato perché la $F_{Y}(-1)$ valga 0 (termine opposto a nota 2). ↑
2. $1-\phi(1)$ è un termine correttivo rappresentante la striscia di area in Gauss std da 1 a $+oo$ mancante perché $F_{Y}(1)$ valga realmente 1 ($\mathbb{P}_{Y}$ non dà contributo in $|Y(\omega)|>=1$. ↑