molteplicità geometrica nel polinomio minimo

Messaggioda lukixx » 11/09/2019, 00:25

nonostante il prof non abbia dato una definizione rigorosa del polinomio minimo m(s) di una matrice quadrata A, ha affermato che gli autovalori della matrice compaiono nel polinomio minimo con una molteplicità pari alla molteplicità geometrica, quindi nel caso di A diagonalizzabile dovrei avere una coincidenza tra polinomio minimo e caratteristico.
Ora, cercavo di calcolare la matrice esponenziale $ e^(At) $ della matrice $ A=( ( 1,2,1 ),( 0,2,0 ),( 1,-2,1 ) ) $ che è facilmente dimostrabile essere diagonalizzabile poichè uno dei suoi autovalori, $ lambda_2 = 2 $ ha molteplicità sia algebrica che geometrica pari a 2. Per calcolare la matrice esponenziale uso il dominio operativo di laplace ovvero calcolo la matrice $ Phi(s) = (sI-A)^-1= (E(s))/(m(s)) $ con E(s) matrice di polinomi e m(s) polinomio minimo ( è proprio questo il modo in cui è stato presentato questo polinomio, senza darne una rigorosa definizione ma proprio come polinomio al denominatore della funzione di transizione trasformata una volta che sono stati semplificati tutti i fattori in comune tra i polinomi di della matrice al numeratore e il polinomio caratteristico nel calcolo della matrice inversa ), poi scompongo in fratti semplici (estendendo il metodo al caso matriciale) e infine antritrasformo trovando la matrice esponenziale. Il problema è che in questo caso, dimostrato che A è diagonalizzabile, dovrei avere polinomio minimo e caratteristico coincidenti, ma nel minimo l' autovalore $ lambda_2 $ compare con molteplicità 1 ( secondo quanto affermato in precedenza avrebbe dovuto comparire con molteplicità 2 ).

Ecco i calcoli (solo del polinomio minimo):
$ Phi(s) = (sI-A)^-1 = 1/(s(s-2)^2)*( ( (s-2)(s-1) , 2(s-2) , s-2 ),( 0 , s(s-2) , 0 ),( s-2 , -2(s-2) , (s-1)(s-2) ) ) = $
$ = 1/(s(s-2))( ( s-1 , 2 , 1 ),( 0 , s , 0 ),( 1 , -2 , s-1 ) ) $
quindi:
$ m(s) = s(s-2) $

sbaglio qualcosa?
lukixx
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Messaggioda Sergeant Elias » 11/09/2019, 11:38

lukixx ha scritto:... gli autovalori della matrice compaiono nel polinomio minimo con una molteplicità pari alla molteplicità geometrica ...

Falso.

lukixx ha scritto:... nel caso di A diagonalizzabile dovrei avere una coincidenza tra polinomio minimo e caratteristico ...

Falso.

Tuttavia, esiste il seguente teorema:

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Re:

Messaggioda lukixx » 11/09/2019, 13:34

Sergeant Elias ha scritto:
lukixx ha scritto:... gli autovalori della matrice compaiono nel polinomio minimo con una molteplicità pari alla molteplicità geometrica ...

Falso.



beh, che dire, il prof ha sbagliato. Sono sicuro di non aver capito io male perchè ci sono le videolezioni a dimostrazione. Ti ringrazio
lukixx
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Re: molteplicità geometrica nel polinomio minimo

Messaggioda vict85 » 11/09/2019, 13:59

Comunque se ti serve un ripasso su questi argomenti, un qualsiasi libro di algebra lineare dovrebbe contenere quel teorema.
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Re: molteplicità geometrica nel polinomio minimo

Messaggioda lukixx » 11/09/2019, 15:55

in realtà non interessa nemmeno il teorema ai fini del corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici, la confusione è stata generata da un' affermazione falsa da parte del prof. Però a quanto ho capito il teorema afferma che se la matrice è diagonalizzabile tutti gli autovalori distinti sono radici del polinomio minimo con molteplicità unitaria, il che è in regola con tutte le esercitazioni che ho svolto. beh grazie mille mi hai sciolto un bel nodo!
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