Ciao cri98,
cri98 ha scritto:seguendo i vostri consigli ottengo:
che il dominio è normale rispetto a y [...]
No... Casomai potresti osservare che $ f(x, y) = x^2+y^2 $ è una
funzione pari:
$ f(-x, y) = f(x, -y) = f(- x, - y) = f(x, y) $
Ora siccome $ A={(x,y) \in \RR^2: x^2+y^2 <= 6x} $ è un cerchio simmetrico rispetto all'asse $x$, se proprio non vuoi risolvere l'integrale doppio proposto facendo uso delle
coordinate polari (che comunque anche a me sembra la strada migliore) puoi risolverlo anche nel modo seguente:
$ \int int_A (x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^6 [2 \int_0^{\sqrt{6x - x^2}} (x^2+y^2) \text{d}y] \text{d}x = 2 \int_0^6 [\int_0^{\sqrt{6x - x^2}} x^2 \text{d}y + \int_0^{\sqrt{6x - x^2}}y^2 \text{d}y] \text{d}x = $
$ = 2 \int_0^6 [x^2 \sqrt{6x - x^2} + (\sqrt{6x - x^2})^3/3] \text{d}x = $
$ = 2/3 \int_0^6 [3x^2 \sqrt{6x - x^2} + (\sqrt{6x - x^2})^3] \text{d}x = ... = 2/3 \cdot (729\pi)/4 = (243 \pi)/2 $
Pertanto, come ti è già stato scritto, la risposta corretta è la 3).