Esercizio con integrale di una funzione irrazionale

Messaggioda alemartina23 » 11/09/2019, 13:43

Salve, apro questo thread perché avrei bisogno di aiuto nella risoluzione di un integrale irrazionale svolto utilizzando il metodo di sostituzione facendo uso del teorema di Chebyschev (informazioni che ho reperito qui: https://www.youmath.it/lezioni/analisi- ... zanti.html).
Questa la traccia:
$ intx^2/sqrt(4-x^2)dx $

Questo il mio tentativo di svolgimento:

Ho effettuato questa sostituzione: $ t^2=4/x^2-1 $
Quindi
$ x=2/sqrt(t^2+1) $
$ dx=-2t/(t^2+1)^(3/2) dt$

Perciò
$ intx^2/sqrt(4-x^2)dx=int1/t*2/sqrt(t^2+1)*-2t/(t^2+1)^(3/2) dt= $
$ =int-4t/(t(t^2+1)^2) = -4int1/(t^2+1)^2$

Arrivato a questo punto non riesco ad andare avanti, ho provato con i fratti semplici senza successo, ho provato per parti e stessa cosa, credo che mi stia sfuggendo qualcosa o che ci sia un errore nel procedimento.

Grazie a chiunque si prenderà il tempo di darci un'occhiata, spero di non aver commesso errori stupidi :-D
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Re: Esercizio con integrale di una funzione irrazionale

Messaggioda pilloeffe » 11/09/2019, 14:12

Ciao alemartina23,

L'integrale proposto è del tipo seguente:

$ \int x^2/sqrt(a^2-x^2) \text{d}x $

Se proprio lo vuoi risolvere per sostituzione porrei $x := a sin t $, ove ne caso in esame $a = 2 $.
Altrimenti proverei a risolverlo mediante integrazione per parti.
Un'altra opzione è osservare che si ha:

$ \int x^2/sqrt(a^2-x^2) \text{d}x = - \int (- x^2)/sqrt(a^2-x^2) \text{d}x = - \int (a^2 - x^2 - a^2)/sqrt(a^2-x^2) \text{d}x = $
$ = a^2 \int 1/sqrt(a^2-x^2) \text{d}x - \int sqrt(a^2-x^2) = $
$ = a^2 arctan(x/sqrt(a^2-x^2)) - 1/2 [a^2 arcsin(x/a) + x sqrt(a^2-x^2)] + c = $
$ = 1/2 [a^2 arctan(x/sqrt(a^2-x^2)) - x sqrt(a^2-x^2)] + c $
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Re: Esercizio con integrale di una funzione irrazionale

Messaggioda alemartina23 » 11/09/2019, 18:07

Ciao pilloeffe, innanzitutto grazie mille per il tempo speso nel rispondermi!
Ho provato a utilizzare la sostituzione da te suggerita e sono riuscito a concludere l'esercizio, ti ringrazio anche per lo svolgimento (molto più rapido) da te proposto, anche se purtroppo nonostante io l'abbia compreso avrei sicuramente difficoltà ad impostarlo autonomamente in sede d'esame.
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Re: Esercizio con integrale di una funzione irrazionale

Messaggioda Mephlip » 11/09/2019, 20:07

Se vuoi proseguire col procedimento iniziale, puoi integrare $-4 \int \frac{1}{(t^2+1)^2}\text{d}t$ ponendo $t=\tan \phi$.
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Re: Esercizio con integrale di una funzione irrazionale

Messaggioda Bokonon » 11/09/2019, 20:26

@alemartina23
Il mio consiglio è farci l'occhio. Spesso e volentieri è sufficiente fare una derivata e impararne la "struttura".
Per esempio la derivata di $sqrt(a^2-x^2)$ è $(-x)/sqrt(a^2-x^2)$
Sfruttando questa informazione possiamo riscrivere l'integrale (che chiamiamo I) così:
$I= intx^2/sqrt(a^2-x^2)dx=- int x(-x)/sqrt(a^2-x^2)dx$ e possiamo procedere integrando per parti.
$I=-xsqrt(a^2-x^2)+int sqrt(a^2-x^2)dx$

Ora, $int sqrt(a^2-x^2)dx$ è l'integrale della semicirconferenza positiva centrata nell'origine e di raggio a.
E' uno degli integrali che si devono imparare a memoria...a meno che non si voglia risolverlo millanta volte.
$int sqrt(a^2-x^2)dx=1/2[xsqrt(a^2-x^2)+a^2arctan(x/sqrt(a^2-x^2))]$

Mettendo insieme i risultati: $I=1/2[a^2arctan(x/sqrt(a^2-x^2))-xsqrt(a^2-x^2)]+C$

Sto enfatizzando non tanto il metodo in se per risolvere un integrale, bensì come mettere insieme conoscenze già acquisite. In questo caso erano 3:
1) la derivata di una radice quadrata
2) l'integrazione per parti notando che la funzione $x$ una volta derivata sarebbe sparita nell'integrale
3) l'integrale di una semicirconferenza è basico e compare spesso, quindi conviene scriverselo e appenderlo al muro.

Se mano a mano che risolvi gli integrali, li raggruppi per tipologia e impari le più comuni, vedrai sempre più rapidamente i pattern per risolvere rapidamente un esercizio.
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Re: Esercizio con integrale di una funzione irrazionale

Messaggioda alemartina23 » 12/09/2019, 09:42

Ciao Mephlip, grazie per lo spunto, sono riuscito a concludere anche continuando con quel procedimento!

Ciao Bokonon, grazie per i consigli e per gli spunti che mi hai fornito, si tratta proprio del tipo di suggerimenti di cui ho bisogno in questa fase perché, pur riuscendo a risolvere gli esercizi, spesso ho difficoltà a ricondurmi ad una tipologia di integrale che conosco.

Siete stati davvero gentilissimi, grazie ancora a tutti!
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