Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda jinsang » 08/09/2019, 11:08

Salve,

Sul mio libro di analisi complessa (il Cartan) si fa uso a un certo punto della seguente proposizione:

Sia $R \subset CC$ un rettangolo (con i lati paralleli agli assi).
Sia $\gamma$ la curva che parametrizza il perimetro in senso antiorario (per fissare le idee partiamo dal vertice in basso a destra).
Sia $z_0$ punto interno al rettangolo e $A$ l'area del rettangolo.
Allora $\int_{\gamma} |z-z_0| dz=A$

Intuitivamente la cosa mi pare molto ragionevole, ma vorrei averne una dimostrazione formale.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Avatar utente
jinsang
New Member
New Member
 
Messaggio: 93 di 95
Iscritto il: 03/01/2017, 20:41

Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda gugo82 » 08/09/2019, 11:53

Beh, fai il conto esplicitamente con la definizione.
Si tratta di integrare una coppia di forme differenziali reali su $gamma$. Prova e vedi che ne viene fuori. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 22301 di 22370
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda jinsang » 08/09/2019, 13:16

WLOG $z_0=0$

Siano ${a+ic, b+ic, b+i d, a+i d}$ i vertici del rettangolo, stavolta li immagino ordinati in senso antiorario partendo da quello in basso a sx.
Vediamo separatamente l'integrale su ogni lato:

$\int_{\gamma_1} |z| dz= \int_{a}^{b} \sqrt(t^2+c^2) dt $
$\int_{\gamma_2} |z| dz= \int_{c}^{d} i\sqrt(b^2+t^2) dt $
$\int_{\gamma_3} |z| dz= -\int_{a}^{b} \sqrt(t^2+d^2) dt $
$\int_{\gamma_4} |z| dz= -\int_{c}^{d} i\sqrt(a^2+t^2) dt $

Ora la somma dovrebbe dare l'integrale voluto, ma non mi torna che questo sia l'area del rettangolo :?
(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)
Avatar utente
jinsang
New Member
New Member
 
Messaggio: 94 di 95
Iscritto il: 03/01/2017, 20:41

Messaggioda Sergeant Elias » 10/09/2019, 11:54

jinsang ha scritto:... mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla ...

Veramente, nel caso in cui $z_0$ coincida con l'origine, centro di simmetria del rettangolo, a me pare che l'integrale sia nullo:

$[-b/2 lt= x lt= b/2] ^^ [z=x+ih/2] rarr [dz=dx] ^^ [I_12=-\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx]$

$[-h/2 lt= y lt= h/2] ^^ [z=-b/2+iy] rarr [dz=i dy] ^^ [I_23=-i\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]$

$[-b/2 lt= x lt= b/2] ^^ [z=x-ih/2] rarr [dz=dx] ^^ [I_34=\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx]$

$[-h/2 lt= y lt= h/2] ^^ [z=b/2+iy] rarr [dz=i dy] ^^ [I_41=i\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]$

$I=I_12+I_23+I_34+I_41=0$

Sei sicuro di aver scritto correttamente il testo? Magari l'integrale non è:

$\int_{\gamma}|z-z_0|dz$

piuttosto:

$\int_{\gamma}|z-z_0||dz|=2[\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx+\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]=$

$=4[\int_{0}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx+\int_{0}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]=h^2\int_{0}^{b/h}sqrt(t^2+1)dt+b^2\int_{0}^{h/b}sqrt(t^2+1)dt$

Ad ogni modo, se così fosse, il risultato non sarebbe quello.
Avatar utente
Sergeant Elias
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1860 di 1866
Iscritto il: 17/07/2016, 12:55

Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda jinsang » 11/09/2019, 20:44

Ma infatti avevo interpretato male quanto diceva il libro.
Scusate per avervi fatto perdere tempo.
Avatar utente
jinsang
New Member
New Member
 
Messaggio: 95 di 95
Iscritto il: 03/01/2017, 20:41

Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda dissonance » 16/09/2019, 12:58

jinsang ha scritto:(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)

Vedo che il problema è risolto, ma comunque era solo per dire che anche a me risulta che quell'integrale non è, in generale, reale.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15643 di 15653
Iscritto il: 24/05/2008, 20:39
Località: Nomade


Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti