Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda jinsang » 08/09/2019, 10:08

Salve,

Sul mio libro di analisi complessa (il Cartan) si fa uso a un certo punto della seguente proposizione:

Sia $R \subset CC$ un rettangolo (con i lati paralleli agli assi).
Sia $\gamma$ la curva che parametrizza il perimetro in senso antiorario (per fissare le idee partiamo dal vertice in basso a destra).
Sia $z_0$ punto interno al rettangolo e $A$ l'area del rettangolo.
Allora $\int_{\gamma} |z-z_0| dz=A$

Intuitivamente la cosa mi pare molto ragionevole, ma vorrei averne una dimostrazione formale.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
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Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda gugo82 » 08/09/2019, 10:53

Beh, fai il conto esplicitamente con la definizione.
Si tratta di integrare una coppia di forme differenziali reali su $gamma$. Prova e vedi che ne viene fuori. :wink:
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Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda jinsang » 08/09/2019, 12:16

WLOG $z_0=0$

Siano ${a+ic, b+ic, b+i d, a+i d}$ i vertici del rettangolo, stavolta li immagino ordinati in senso antiorario partendo da quello in basso a sx.
Vediamo separatamente l'integrale su ogni lato:

$\int_{\gamma_1} |z| dz= \int_{a}^{b} \sqrt(t^2+c^2) dt $
$\int_{\gamma_2} |z| dz= \int_{c}^{d} i\sqrt(b^2+t^2) dt $
$\int_{\gamma_3} |z| dz= -\int_{a}^{b} \sqrt(t^2+d^2) dt $
$\int_{\gamma_4} |z| dz= -\int_{c}^{d} i\sqrt(a^2+t^2) dt $

Ora la somma dovrebbe dare l'integrale voluto, ma non mi torna che questo sia l'area del rettangolo :?
(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)
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Messaggioda Sergeant Elias » 10/09/2019, 10:54

jinsang ha scritto:... mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla ...

Veramente, nel caso in cui $z_0$ coincida con l'origine, centro di simmetria del rettangolo, a me pare che l'integrale sia nullo:

$[-b/2 lt= x lt= b/2] ^^ [z=x+ih/2] rarr [dz=dx] ^^ [I_12=-\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx]$

$[-h/2 lt= y lt= h/2] ^^ [z=-b/2+iy] rarr [dz=i dy] ^^ [I_23=-i\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]$

$[-b/2 lt= x lt= b/2] ^^ [z=x-ih/2] rarr [dz=dx] ^^ [I_34=\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx]$

$[-h/2 lt= y lt= h/2] ^^ [z=b/2+iy] rarr [dz=i dy] ^^ [I_41=i\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]$

$I=I_12+I_23+I_34+I_41=0$

Sei sicuro di aver scritto correttamente il testo? Magari l'integrale non è:

$\int_{\gamma}|z-z_0|dz$

piuttosto:

$\int_{\gamma}|z-z_0||dz|=2[\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx+\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]=$

$=4[\int_{0}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx+\int_{0}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]=h^2\int_{0}^{b/h}sqrt(t^2+1)dt+b^2\int_{0}^{h/b}sqrt(t^2+1)dt$

Ad ogni modo, se così fosse, il risultato non sarebbe quello.
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Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda jinsang » 11/09/2019, 19:44

Ma infatti avevo interpretato male quanto diceva il libro.
Scusate per avervi fatto perdere tempo.
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Re: Integrale complesso su rettangolo

Messaggioda dissonance » 16/09/2019, 11:58

jinsang ha scritto:(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)

Vedo che il problema è risolto, ma comunque era solo per dire che anche a me risulta che quell'integrale non è, in generale, reale.
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