serie arcotangente con parametro

Messaggioda Rebb10 » 12/09/2019, 12:32

è giusto scrivere questa serie in questo modo? Usando l'asintoticità dell'arcotangente
$\sum_{k=1}^\infty\ [arctan(1/k^(3\alpha))-1/k] = \sum_{k=1}^\infty\ [1/k^(3\alpha)-1/k] = \sum_{k=1}^\infty\ [1/k^(3\alpha -1)]$
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Mephlip » 12/09/2019, 13:28

L'ultima uguaglianza è falsa, rifai i conti.
Per la stima asintotica, che succede se $\alpha=\frac{1}{3}$?
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda arnett » 12/09/2019, 13:52

Ma anche la prima è falsa, tu vuoi solo dire che sono asintotiche (e sono asintotiche sotto qualche condizione che non hai specificato), non che sono uguali.
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Rebb10 » 12/09/2019, 15:18

Mephlip ha scritto:L'ultima uguaglianza è falsa, rifai i conti.
Per la stima asintotica, che succede se $\alpha=\frac{1}{3}$?

Per $\alpha=1/3$ la serie diverge... Quindi la serie è asintotica a $1/k^(3\alpha)$
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Mephlip » 12/09/2019, 15:42

Arnett ha ragione, andrebbe specificato quando sono asintotiche e andrebbero messi degli $\text{o}$-piccolo o altrimenti non sono uguaglianze.
Perché dovrebbe divergere per $\alpha=\frac{1}{3}$? Scrivi i conti che hai fatto, perché converge.
Capito cosa succede per $\alpha=\frac{1}{3}$ puoi discutere il caso generale, tra l'altro $\alpha$ dove varia?
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Rebb10 » 12/09/2019, 16:07

Non capisco perché per $\alpha=1/3$ la serie converge... Si comporta come una serie armonica generalizzata, no?
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Mephlip » 12/09/2019, 16:33

Usa lo stesso argomento della stima asintotica (mettendo gli $\text{o}$-piccolo), hai da studiare per $\alpha=\frac{1}{3}$ la serie
$$\sum_{k=1}^{+\infty} \left(\arctan \frac{1}{k} - \frac{1}{k}\right)$$
Mostrami perché secondo te diverge.
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Rebb10 » 12/09/2019, 17:56

No, è vero perché se sviluppo al primo ordine l'arcotangente si annulla tutto, mentre sviluppando già al secondo ordine, il primo termine dello sviluppo $1/k$ va via e rimane $-1/(3k^3)$ che converge
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda Mephlip » 12/09/2019, 19:56

Esatto, quindi hai notato che per $\alpha=\frac{1}{3}$ al primo ordine le due funzioni coincidono per $k\to+\infty$; dunque quel valore del parametro è una sorta di spartiacque, cosa succede se $\alpha>\frac{1}{3}$ e se $\alpha<\frac{1}{3}$?
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Re: serie arcotangente con parametro

Messaggioda arnett » 13/09/2019, 22:22

E comunque, se io volessi essere proprio fastidioso e pedante devo anche dire che il criterio dell'asintotico vale sotto qualche ipotesi, e cioè che la serie sia a termini positivi, cosa che in effetti non è, in questo caso.
Le cose vanno comunque a finire bene nel senso che la serie è a termini negativi (tutti negativi per qualche valore di $\alpha$ e solo definitivamente per altri valori del parametro), quindi si possono fare i medesimi ragionamenti alla serie di termine generale $1/k - arctan(1/k^{3\alpha})$, eventualmente escludendo i primi termini se serve, la quale chiaramente converge se e solo se converge la serie assegnata.

Per quanto in questo caso sia tutto meno che ovvio discutere il segno di $arctan(1/k^{3\alpha})-1/k$ al variare di $\alpha$ a mano (e io infatti lo ho fatto per tentativi su Geogebra :-D ), l'ipotesi forse andava controllata all'inizio.
Insomma a farlo bene questo esercizio è meno innocuo di quel che sembra.
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