Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda francox » 11/09/2019, 17:03

La questione è questa:

Non tutti i gruppi finiti sono gruppi abeliani perchè esistono gruppi abeliani non finiti. Di conseguenza un gruppo abeliano non è, per definizione, finito cosi come un gruppo finito non è, per definizione, abeliano.


Io cerco una struttura che generalizza soltano questi due tipi di gruppi in cui posso dire ogni gruppo finito è \(\displaystyle X \) perchè anche ogni gruppo abeliano è \(\displaystyle X \). Non cerco la generalizzazione del concetto di gruppo in questo senso https://www.researchgate.net/publicatio ... _of_groups , mi serve che la generalizzazione si limiti solo a questi 2 tipi di gruppi, non del concetto di gruppo in generale.

Come scritto in quel pdf, la struttura che può generalizzare questi 2 tipi di gruppi potrebbe non essere, infatti, un gruppo, ma io questo non lo so, per cui lo chiedo

Exists e-groups which are not groups


Come faccio a verificare che la generalizzazione limitata ai 2 tipi di gruppi, finiti e abeliani, non è un gruppo ? Esiste un criterio ?
francox
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda vict85 » 11/09/2019, 21:09

francox ha scritto:[...]
Non tutti i gruppi finiti sono gruppi abeliani perchè esistono gruppi abeliani non finiti. Di conseguenza un gruppo abeliano non è, per definizione, finito cosi come un gruppo finito non è, per definizione, abeliano.
[...]


Questa citazione non ha alcun senso logico. Non tutti i gruppi sono abeliani perché ne esistono di non abeliani (il più piccolo ha ordine 6). Che esistano gruppi abeliani non finiti non implica affatto che non tutti i gruppi finiti siano gruppi abeliani. Ciò che mostra è che non tutti i gruppi abeliani sono finiti (e ad essere precisi non è che lo mostra, è semplicemente un modo diverso di dirlo). Insomma la prima frase mi sembra un po' sottosopra, mentre la seconda non è conseguenza della prima. Da dove hai preso quel testo? È preso da una registrazione audio?

Venendo alla tua domanda finale, che non sembra avere alcuna relazione con la prima parte, gli autori danno già una risposta esauriente:

We note that if there exists a unique element for the conditions (eG2) and (eG3), then
\((G;\ast;A)\) is a group


E anche esempi di e-gruppi propri. Non capisco cosa non capisci.
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda francox » 12/09/2019, 00:55

Io ho capito cosi:

1. Esistono gruppi abeliani e non abeliani
2. I gruppi abeliani possono essere finiti e non finiti
3. I gruppi finiti possono essere abeliani e non abeliani
4. Tutti i gruppi finiti sono costruiti dai gruppi semplici [simple groups] (letto su nLab)
5. Tutti i gruppi abeliani hanno sottogruppi normali
6. Il sottogruppo di un gruppo abeliano è sua volta abeliano.
7. Esistono gruppi non abeliani che hanno sottogruppi normali, questi vengono chiamati gruppi hamiltoniani
8. A simple group is a nontrivial group whose only normal subgroups are the trivial group and the group itself.
9. Tutti i gruppi ciclici sono abeliani (non ho capito se questo è vero per i gruppi ciclici finiti e i gruppi ciclici infiniti)

Ho quindi tratto la conclusione che i sottogruppi normali giocano un ruolo chiave per essere "terreno comune" per poter evitare la distinzione tra i gruppi finiti e i gruppi abeliani puntando invece a parlare di un solo gruppo/sottogruppo che li generalizasse.

Ora, se non ho capito male, tutti i gruppi finiti sono semplici, ma dato che nella definizione di gruppo semplice parlano di sottogruppo normale e nella definizione di gruppo abeliano parlano anche li di sottogruppi normali..è possibile evitare di usare 3 termini diversi "finiti", "abeliani", "semplici" parlando soltanto di questi gruppi soltanto come "sono o hanno tutti questi gruppi (finiti, semplici, abeliano) sottogruppi normali?

Sto cercando di capire, il mio problema è che non è facile trovare un modo per dire tipo

a) il gruppo finito ha un sottogruppo normale
b) il gruppo semplice ha un sottogruppo normale
c) il gruppo abeliano ha un sottogruppo normale

Avranno questi gruppi, abeliani/non-abeliani, finiti/non-finiti, semplici, ciclici... tutti qualcosa in comune che mi permetta di dire "ecco! Tutti questi gruppi sono questo o hanno tutti in comune X struttura, quindi sono X ?

Nella mia richiesta mi interessava limitarmi ai gruppi finiti e abeliani..ma poi spunta fuori non-abeliani, non-finiti, ciclici, banali..ecco..avrei voluto evitarlo..
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda vict85 » 12/09/2019, 12:17

francox ha scritto:Io ho capito cosi:

1. Esistono gruppi abeliani e non abeliani
2. I gruppi abeliani possono essere finiti e non finiti
3. I gruppi finiti possono essere abeliani e non abeliani


Si, questi tre sono veri.

francox ha scritto:4. Tutti i gruppi finiti sono costruiti dai gruppi semplici [simple groups] (letto su nLab)


Sinceramente non studierei su nLab prima di avere una conoscienza basilare di teoria di gruppi e altre strutture algebriche elementari. Per esempio i moduli. Un sito come quello è complesso anche per studenti magistrali in matematica. In matematica, capire parzialmente vuol dire non capire affatto.

Riguardo alla tua affermazione, è solo parzialmente corretta. Non userei il termine costruito comunque.

francox ha scritto:5. Tutti i gruppi abeliani hanno sottogruppi normali


Ogni gruppo ha sottogruppi normali, anche quelli semplici. Ogni gruppo non semplice ha sottogruppi normali propri e non banali (finiti o non finiti, abeliani o non abeliani).

Quello che immagino volessi dire è che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Cosa generalmente falsa al di fuori dei gruppi abeliani.

francox ha scritto:6. Il sottogruppo di un gruppo abeliano è sua volta abeliano.


Se ci pensi è piuttosto ovvio. Nota che ogni gruppo ha sottogruppi abeliani.

francox ha scritto:7. Esistono gruppi non abeliani che hanno sottogruppi normali, questi vengono chiamati gruppi hamiltoniani


I gruppi Hamiltoniani hanno la proprietà che ogni loro sottogruppo è normale. Dovresti stare attento ai quantificatori. Per la prima parte ho già commentato sopra.

francox ha scritto:8. A simple group is a nontrivial group whose only normal subgroups are the trivial group and the group itself.


Corretto. Perché in inglese?

francox ha scritto:9. Tutti i gruppi ciclici sono abeliani (non ho capito se questo è vero per i gruppi ciclici finiti e i gruppi ciclici infiniti)


Comincio ad avere l'impressione tu non sappia la definizione di gruppo abeliano :roll: . Se non sei sicuro di questo fatto ti invito a dimostrarlo, richiede al massimo 3 righe. Nota che ogni gruppo semplice abeliano è ciclico (di ordine un primo).

francox ha scritto:Ho quindi tratto la conclusione che i sottogruppi normali giocano un ruolo chiave per essere "terreno comune" per poter evitare la distinzione tra i gruppi finiti e i gruppi abeliani puntando invece a parlare di un solo gruppo/sottogruppo che li generalizasse.


I gruppi normali sono essenziali per i gruppi in generale. Infatti il kernel di ogni morfismo di gruppi è normale. Ti invito però a studiare i maniera più strutturata.

francox ha scritto:Ora, se non ho capito male, tutti i gruppi finiti sono semplici, ma dato che nella definizione di gruppo semplice parlano di sottogruppo normale e nella definizione di gruppo abeliano parlano anche li di sottogruppi normali..è possibile evitare di usare 3 termini diversi "finiti", "abeliani", "semplici" parlando soltanto di questi gruppi soltanto come "sono o hanno tutti questi gruppi (finiti, semplici, abeliano) sottogruppi normali?


:shock: :shock: :shock: Hai capito male. I gruppi semplici finiti sono stati tutti classificati (in quella che è probabilmente la dimostrazione più lunga della storia della matematica) e certamente non includono tutti i gruppi finiti.

francox ha scritto:Sto cercando di capire, il mio problema è che non è facile trovare un modo per dire tipo

a) il gruppo finito ha un sottogruppo normale
b) il gruppo semplice ha un sottogruppo normale
c) il gruppo abeliano ha un sottogruppo normale

Avranno questi gruppi, abeliani/non-abeliani, finiti/non-finiti, semplici, ciclici... tutti qualcosa in comune che mi permetta di dire "ecco! Tutti questi gruppi sono questo o hanno tutti in comune X struttura, quindi sono X ?

Nella mia richiesta mi interessava limitarmi ai gruppi finiti e abeliani..ma poi spunta fuori non-abeliani, non-finiti, ciclici, banali..ecco..avrei voluto evitarlo..


Hanno in comune la struttura di gruppo!? :? Dovresti cercare di eliminare le tue lacune prima di cimentarti in generalizzazioni.
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda francox » 12/09/2019, 14:50

Allora, perdonami, ma quello che cerco per evitare di usare mille nomi diversi (finiti, abeliani, semplici..) è quello che tu mi hai scritto qui

Il kernel di ogni morfismo di gruppi è normale
.

Si..ho capito che tutti questi gruppi hanno in comune la struttura di gruppo, ma non cercavo questo.
La ragione della mia domanda è che quando ad esempio in fisica si parla di "conservazione dell'isospin" poi si parla di trasformazioni della carica elettrica in SU(2) e si tira fuori il termine "simmetrie", ma ho notato che le simmetrie alla fine o sono gruppi finiti, ciclici o abeliani.

Per cui anziché dire "conservazione" che non mi dice niente, preferisco dire "il kernel di ogni morfismo di gruppi è normale", per cui l isospin si conserva in tal senso, non nel senso che se non si conserva allora non potremmo parlare di interazione debole, cosi non mi dice niente

Se volessi che l isospin non si conservi dovrei spiegare che ci troviamo di fronte ad una situazione in cui il kernel di ogni morfismo non è normale.
Matematicamente non è possibile se ci riferiamo ai gruppi, ma non se ci riferiamo ad un altro tipo di struttura matematica.

Questo porta alla mia domanda finale:

Quando il kernel di ogni morfismo di gruppi non è normale ?

Idea: quando i miei oggetti non hanno in comune la struttura di gruppo. Ma.. che tipo di struttura può essere?
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda francox » 12/09/2019, 17:48

Adesso ho capito la domanda che volevo fare

Se ogni gruppo è un sottogruppo normale di se stesso, che tipo di struttura ho se non ho l'elemento di identità (elemento di unità o 1) ?

Dato che ogni gruppo ha l'elemento identità, senza tale elemento dovrebbe essere un semigruppo, ma visto che ci stiamo riferendo al sottogruppo normale, il mio semigruppo non può essere nemmeno piu normale in quanto verrebbe a mancare la struttura di (sotto) gruppo.

Ecco, questa è la struttura che cerco, cosa diventa il sottogruppo normale se tolgo l'elemento identità, che tipo di semigruppo ho.
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda vict85 » 12/09/2019, 18:16

Le sotto-strutture dei semigruppi penso che prendano il nome di sottosemigruppi. E da quello che ho visto velocemente ora, l'equivalente dei sottogruppi normali sono gli ideali. Non ho mai studiato i semigruppi in dettaglio. Comunque puoi sempre "dimenticarti" parte della struttura di un gruppo.


Detto questo, che intendi per togliere l'identità? Non considerarla tale? Oppure proprio considerare l'insieme senza quell'elemento? Siccome i sottogruppi, indipendentemente dalla normalità, contengono anche l'inverso, quello che avresti togliendo l'identità non sarebbe chiuso per applicazione dell'operazione.
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda francox » 12/09/2019, 19:27

Si, i sottogruppi contengono anche l'inverso, quindi anche se tolto l'identità (nel senso di considerare l'insieme senza quell'elemento), in verità è come se togliessi tutta la definizione di gruppo, è cosi ? Ma da quello che ho capito io dovrei ottenere un'operazione binaria senza l'inverso e senza l'identità tipo cosi ?

https://math.stackexchange.com/question ... r-inverses

Tu però mi hai scritto questo

quello che avresti togliendo l'identità non sarebbe chiuso per applicazione dell'operazione


Cioè, tu mi stai dicendo che avrei un sotto-semigruppo, ma se l'operazione non è chiusa allora stiamo parlando di un semigruppo parziale in questo senso ?
https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_groupoid

Chiusa intendi che se nel gruppo avevo un'operazione chiusa, togliendo l'identità tolgo in verità anche l'inverso e quindi ottengo non solo una struttura piu semplice, un semigruppo, ma cambia anche il tipo di operazione che posso definire su di esso (in quanto non sarebbe chiuso per applicazione dell'operazione) e quindi avendo un operazione parziale anche il mio semigruppo diventerebbe un semigruppo parziale ?
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda vict85 » 13/09/2019, 14:28

Tendi a trarre conclusioni un po' troppo velocemente. Quello che intendo io è che una sottostruttura di una qualche struttura algebrica è un sottoinsieme in cui le operazioni della struttura sono chiuse e per cui valgano le proprietà fondamentali della struttura stessa (alcune di queste sono, in genere, soddisfatte automaticamente). Quindi se l'operazione non è più chiusa non si tratta di una sottostruttura. Ovviamente, puoi dire che è comunque qualcosa e dargli un nome.


Comunque non capisco come ti possa aiutare con il tuo problema. Nota che c'è molta teoria dietro termini come simmetria e conservazione.
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Re: Struttura che generalizza i gruppi finiti e i gruppi abeliani

Messaggioda francox » 15/09/2019, 14:33

Ok, tu mi hai detto che l operazione binaria non essendo chiusa non soddisfa nemmeno il requisito di essere "sottostruttura", quindi non è nemmeno un operazione binaria, è corretto ?

Quindi con che cosa ci troviamo a che fare ?
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