esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Hidemet_III » 01/02/2019, 14:47

Salve a tutti, l'esercizio che non riesco a risolvere è il seguente:
Al variare di $ n ∈ N\\{0} $ ed $α ∈ R$ sia $ fn: [0, 1] → R $
data da $ f_n(x) = n^α (1 − x^2)^nx +(sen(nx))/(√n) $ -
Sia $ f $ il limite puntuale di $f_n$, ove esiste finito.
Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
1. $f_n$ converge uniformemente a $f$ su $[0,1] <=> alpha < 1/2$
2. se $alpha <= 0$ allora $f_n$ converge puntualmente a $f$ su $[0,1]$ e $ lim_(n→+∞)int_(0)^(1)f_n(x)
dx =int_(0)^(1)f(x)dx $

Ragionamento inconcludente:
Se calcolo il limite puntuale ho che $lim_(n->∞) f_n$
1 operando
$alpha<0$ $n^alpha$ $->0$ o $alpha = 0$ $n^alpha$ $->1$
dato che $0<=x<=1$ $(1 − x^2)^nx$ $->0$
$(sen(nx))/(√n)-> 0$
ne concludo che $lim_(n->∞) f_n = 0=f(x)$

Ora calcolo calcolo la convergenza uniforme $SUP_(x in [0,1])abs(f_n-f(x))$
uguale a $SUP_(x in [0,1])abs(f_n)=n^α (1 − 10)^n1 +(sen(n))/(√n) $per$ n->0$ risulta $0$

Il punto 2. penso valga perché l'integrazione passa al limite uniforme.
DOMANDA:
perché nel 1.si impone $ alpha < 1/2$ e non $ alpha <= 0$?
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Anacleto13 » 02/02/2019, 11:49

Ciao Hidemet,
Benvenuto sul forum!
Sicuramente hai un pò le idee confuse su come svolgere questi esercizi.

Per quanto riguarda l'integrale, il "penso" vediamolo

Condizione $\alpha\leq0$
$lim_{n\to\infty} \int_0^1 n^{\alpha}(1-x^2)^nx+\frac{sin(nx)}{\sqrt(n)}dx=\frac{n^{alpha}(1-x^2)^{n+1}}{-2(n+1)}\|_0^1-\frac{cos(nx)}{n\sqrt(n)}|_0^1 =0+\frac{n^{\alpha}}{2(n+1)}-0+0$


$\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}={(\infty if \alpha>1),(1 if \alpha=1),(0 if \alpha<1):}$

Ora valuti se vale quanto detto.

Per quanto riguarda la CU userei le maggiorazioni, liberandomi del seno, studi la derivata prima e trovi il sup.

Troverai sicuramente che il limite dipende dal parametro $\alpha$ e scegliere i valori di $\alpha$ tale per cui il limite fa 0 (definizione di CU).
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Hidemet_III » 03/02/2019, 18:11

Ciao grazie per la risposta.
Ho ancora molti dubbi.
Procediamo
Per calcolare la CU, prima trovo la CP, poi applico la definizione di CU: $lim_(n->oo) SUP_(x in [0,1])|f_n(x)-f(x)|=0$
CP: $AA α in R $ ho che $f(x)=lim_(n->oo)f_n(x)=0$
CU: $|f_n(x)|= |n^α (1 − x^2)^nx +(sen(nx))/(√n)|<=|n^α (1 − x^2)^nx +1/(√n)|$ ho maggiorato
- derivo$d/dx(n^α (1 − x^2)^nx +1/(√n)=d/dx(n^α (1 − x^2)^nx)=n^α (1 − x^2)^(n-1)((-2n+1)x^2+1)$
- pongo la derivata = 0 x risulta $x=1 vv x= (1/(2n-1))^(1/2)$
- trovo il sup e faccio un po' di maggiorazioni
$ |f_n(x)|= |n^α (1 − (1/(2n-1)))^n(1/(2n-1))^(1/2) +1/(√n)| =|n^α ((2n-2)/(2n-1))^n(1/(2n-1))^(1/2) +1/(√n)| $
maggioro sommando -1 al denominatore della prima frazione e semplifico
$<=|n^α ((2n-2)/(2n-1-1))^n(1/(2n-1))^(1/2) +1/(√n)|=|n^α 1^n(1/(2n-1))^(1/2) +1/(√n)| $
$<=|n^α/(2n-1)^(1/2)| +|1/(√n)|$ moltiplico il numeratore *2 e sommo +1
$<=|(2n)^α/((2n)^(1/2))| +|1/(√n)|$

$lim_(n->oo)|n^(α-(1/2))| +lim_(n->oo)|1/(√n)|$
$lim_(n->oo)|n^(α-(1/2))| +0$
Se $lim_(n->oo)|n^(α-(1/2))| =0$ allora $alpha<1/2$
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Hidemet_III » 05/02/2019, 22:02

Anacleto13 ha scritto:Ciao Hidemet,
Benvenuto sul forum!
Sicuramente hai un pò le idee confuse su come svolgere questi esercizi.

Per quanto riguarda l'integrale, il "penso" vediamolo

Condizione $\alpha\leq0$
$lim_{n\to\infty} \int_0^1 n^{\alpha}(1-x^2)^nx+\frac{sin(nx)}{\sqrt(n)}dx=\frac{n^{alpha}(1-x^2)^{n+1}}{-2(n+1)}\|_0^1-\frac{cos(nx)}{n\sqrt(n)}|_0^1 =0+\frac{n^{\alpha}}{2(n+1)}-0+0$


$\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}={(\infty if \alpha>1),(1 if \alpha=1),(0 if \alpha<1):}$

Ora valuti se vale quanto detto.

Per quanto riguarda la CU userei le maggiorazioni, liberandomi del seno, studi la derivata prima e trovi il sup.

Troverai sicuramente che il limite dipende dal parametro $\alpha$ e scegliere i valori di $\alpha$ tale per cui il limite fa 0 (definizione di CU).

Ma quindi il primo (2 )é vero o falso. Il mio professore dice che é vero, entrambi i punti sono veri.
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Hidemet_III » 17/09/2019, 10:50

Buongiorno avrei ancora dei dubbi sul primo punto dell'esercizio
devo calcolare il limite puntuale di $f_n(x)$ che è uguale a
$lim_( n->\infty) n^alpha(1-x)^nx+(sen(nx))/n^(1/2) $
se $x=0$ o $x=1$ il limite puntuale fa 0
altrimenti con $0<x_0<1$
faccio il modulo di $f_n(x)$ maggioro e ottengo che
$abs(n^alpha(1-x_0)^nx_0)$ per $n->\infty$ devo distinguere i seguenti casi
$f(x)={(\infty*0 if \alpha>0),(0 if \alpha<=0):}$
qui mi blocco sulla forma indeterminata.... ](*,)
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda dissonance » 17/09/2019, 10:59

Ma no, dai che è facile. Limite notevole dell'esponenziale. Il risultato è 0.
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Hidemet_III » 18/09/2019, 08:56

Gentilmente potresti essere più esplicito
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda dissonance » 18/09/2019, 09:49

Quanto fa \[\lim_{n\to \infty} n^\alpha b^n, \]
se \(0<b<1\)?
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Hidemet_III » 18/09/2019, 13:20

Direi (sbagliando) che il primo termine va a infinito mentre il secondo va a zero. Quindi ho una forma indeterminata.
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Re: esercizio Analisi 2 - convergenza uniforme e puntuale successioni di funzioni

Messaggioda Mephlip » 18/09/2019, 13:30

Ma la tendenza a $0$ è esponenziale, quindi?
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