Onestamente ritengo che il professore abbia solo inteso farti ricordare il
teorema della media, fra l'altro in un caso particolare, per dimostrare qual è l'espressione di $R_n(x) $
nella forma di Lagrange. L'espressione corretta è la seguente:
$R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(c)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} $
ove $x_0 < c < x $. Nel caso particolare $x_0 = 0 $ e $n = 1 $ si ha:
$R_1(x) = f''(c) x^2/2 $
ove $0 < c < x $ che è proprio l'espressione che compare nei tuoi appunti. Per una dimostrazione di quanto asserito sull'espressione di $R_n(x) $ puoi dare un'occhiata in diversi posti, ad esempio
qui (le notazioni sono diverse da quelle usate dal tuo professore, ma si capisce).