Salve, sto cercando qualche aiuto per questo esercizio, sia $f(x) = log(arctan(x) + pi/2) + tanh(x)$ ,
(i) provare che f è iniettiva
(ii) calcolare l'immagine di f
(iii) detta g l'inversa di f, dire se g è 2 volte derivabile in $x=pi/2$ e in caso affermativo, trovarne il valore
(iv) dire se g è infinitamente derivabile dando una motivazione (anche discorsiva)
Ecco il mio tentativo di soluzione:
(i) Abbiamo che f è continua in quanto somma di 2 funzioni continue, $tanh(x)$ è ovviamente continua mentre $log(arctan(x) + pi/2)$ è continua in quanto composizione di funzioni continue. Per funzioni continue vale f iniettiva se e solo se f strettamente monotona. La funzione f è strettamente crescente poichè $tanh(x)$ è strettamente crescente e $log(arctan(x) + pi/2)$ è strettamente crescente poichè composizione delle funzioni $arctan$ e $log$ che sono strettamente crescenti, quindi f iniettiva.
(ii) Sapendo che f è strettamente monotona nell'intervallo in cui è definita, posso trovare:
$\lim_{x \to \-infty}f(x) = -infty$ e $\lim_{x \to \infty}f(x) = 1 + log(pi)$ , usando il teorema dei valori intermedi abbiamo che $f(RR) = (-infty, 1+log(pi))$
(iii) Qui ho qualche problema: Usando il teorema della derivata della funzione inversa, abbiamo che
$g' (y) = 1/(f'(g(y))) AAyinD$ e usando la regola della catena, $g''(y) = (-1/((f'(g(y)))^2)) * f''(g(y))g'(y)$ , però mi sembra un procedimento molto lungo, possibile che non ci sia qualcosa di più rapido?
(iv) buio :/