mobley ha scritto: l'obiettivo del post era cercare di mettere chiarezza sulle formule da usare in caso di "condizionamento rispetto ad un singolo valore" e con v. condizionata $>,<$ di un certo valore.
per questo ti chiederei gentilmente se tu, o chiunque voglia, di definire le diverse formule adatte ai diversi casi.
Per l'esercizio in questione, senza tutta quella pletora di calcoli, una volta calcolata la marginale $f_Y(y)=e^(-y)$ basta osservare che
$f(x,y)=f(y)f(x|y)$ e dunque
$f_(X|Y)(x|y)={{: ( 1/ye^(-x/y) , ;x>0;y>0 " (fissato)"),( 0 , ; " altrove" ) :}$
ovvero un'esponenziale di media $y$
Ora, avendo fissato $Y=y$, $1/y$ è diventato il parametro della nuova esponenziale....
A questo punto calcoli tutto ciò che vuoi...per cui $mathbb{P}[X>k|Y=y]=e^(-k/y)$; $y>0$
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Visto che oggi ho un po' di tempo libero ti metto giù un esempio esplicativo (più semplice del tuo) ma più malleabile.....più gli esempi sono semplici e più chiariscono le cose, secondo me.
Prendiamo la seguente variabile doppia (una uniforme sul triangolo di vertici $(0;0)$, $(1;1)$, $(0;1)$)
$f_(XY)(x,y)={{: ( 2 , ;0<x<y<1 ),( 0 , ;"altrove" ) :}$
con densità marginale di Y facilmente calcolabile in $f_Y(y)=2y$; $0<y<1$
e vediamo come calcolare $mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]$
La cosa più semplice ed immediata è calcolare la densità condizionata (che è definita, essendo $f_Y(3/4)=3/2>0$) e quindi otteniamo
$f_(X|Y)(x|y)=2/(2y)=1/y$
dove evidentemente deve essere
$0<x<y$
$0<y<1$
Fatto questo, per calcolare $mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]$ non resta che integrare la densità condizionata a $Y=3/4$ nell'intervallo richiesto, ovvero non resta che calcolare
$int_0^(1/2)4/3dx=2/3$
fine della soluzione breve (e consigliata)
Va da sé che se integriamo tutta la densità condizionata sul suo supporto otteniamo
1 $int_0^(3/4)4/3dx=1$ come deve essere (i torni contano!)
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Vediamo come risolvere il problema volendo per forza farsi del male.....
Posso pensare di calcolare
$mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]=mathbb{P}[X<1/2|3/4-epsilon<=Y<=3/4+epsilon]$
con ovviamente $0<=epsilon<=1/4$
A questo punto dobbiamo usare la solita definizione della probabiità condizionata e quindi otteniamo
Numeratore:
$mathbb{P}[X<1/2;3/4-epsilon<=Y<=3/4+epsilon]=2int_0^(1/2)dxint_(3/4-epsilon)^(3/4+epsilon)dy=2epsilon$
Denominatore:
$mathbb{P}[3/4-epsilon<=Y<=3/4+epsilon]=int_(3/4-epsilon)^(3/4+epsilon)2ydy=3epsilon>0$
e dunque
$mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]=(2epsilon)/(3epsilon)=2/3$ come ottenuto prima senza tutto sto po'po' di integrali e, in questo caso, senza nemmeno dover calcolare limiti.....tieni presente che ho preso una densità uniforme, quindi con integrali immediati da calcolare....se le cose si complicano i calcoli possono diventare presto improponibili ai Cristiani...