Dimostrazione simmetria del tensore di Cauchy

[nico97it]

Avrei bisogno di un chiarimento riguardo la dimostrazione della simmetria del tensore di Cauchy. Vi allego qui di seguito alcune immagini che illustrano il cubetto infinitesimo, interno al nostro elemento del continuo 3d, con le relative componenti di tensioni e i loro incrementi. Per evitare di appesantire il disegno sono 3 immagini separate ma le tensioni raffigurate agiscono tutte contemporaneamente sullo stesso cubetto di materiale.













Le componenti di tensione agiscono al centro di ciascuna faccia.
Quello che non riesco a capire è perché nell'equilibrio alla rotazione attorno all'asse 3', parallelo all'asse 3 e passante per il centro del cubetto, concorrono solo le tensioni $ sigma_12 $ , $ sigma_21 $ e i relativi incrementi. Perché non concorrono anche le $ sigma_32 $ e le $ sigma_31 $ ? Anche loro producono momento.

[nico97it]

L'equazione di equilibrio attorno all'asse 3' parallelo all'asse 3 e passante per il centro del cubetto sarebbe questa:

$ -(sigma_12+(partialsigma_12)/(partial x_2)dx_2)dx_1dx_3dx_2/2-sigma_12dx_1dx_3dx_2/2+(sigma_21+(partial sigma_21)/(partial x_1)dx_1)dx_2dx_3dx_1/2+sigma_21dx_2dx_3dx_1/2=0 $

Semplificando risulta $ sigma_12=sigma_21 $

Solo che non capisco perché all'equilibrio alla rotazione attorno a quest'asse concorrano solo queste componenti di tensione $ sigma_12 $ , $ sigma_21 $ e non le altre.

[Shackle]

Perché le altre hanno braccio nullo rispetto all’asse 3’ . Rispetto a questo asse, le forze che hanno momento diverso da zero sono quelle agenti sulle 4 facce del cubetto parallele all’asse 3’ . Nota che le forze sono applicate al centro di ciascuna faccia, e stai considerando “solo” la rotazione attorno all’ asse 3’.
Analogamente per gli altri due assi.

[nico97it]

Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma come è possibile che abbiano braccio nullo? Posso capire le componenti normali che passano per quel polo ma ad esempio $sigma_32$ ha momento $sigma_32 dx_1dx_3 dx_2/2$ Dove sto sbagliando?

[Shackle]

Santo Cauchy! Su ciascuna faccia devi mettere 3 forze, al centro, una normale e due tangenziali. Poi , scrivi l’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse 3’ . Considera bene quali forze danno momento attorno a tale asse.
Ora sto rispondendo col cellulare, non posso fare disegni.
In totale, sono 4 forze tangenziali, a due a due antiparallele, ciascuna con braccio pari a metà lato: la somma algebrica dei 4 momenti è nulla. Forse diciamo la stessa cosa, senza capirci !

[nico97it]

Il momento di $sigma_32$ che ho scritto nell'ultimo messaggio per fare un esempio per caso sarebbe il momento rispetto all'asse 1' passante per il centro del cubetto e parallelo all'asse 1? Quando faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un asse devo considerare quindi solo le forze che mi danno un momento che ha direzione come quell'asse?

[Shackle]

Il momento di $sigma_32$ che ho scritto nell'ultimo messaggio per fare un esempio per caso sarebbe il momento rispetto all'asse 1' passante per il centro del cubetto e parallelo all'asse 1?

Infatti, finalmente te ne sei reso conto! Quindi non c'entra con l'equilibrio alla rotazione rispetto all'asse 3' , è chiaro ?

Quando faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un asse devo considerare quindi solo le forze che mi danno un momento che ha direzione come quell'asse?

Esatto ! LE altre coppie, le prenderai in considerazione quando fai l'equilibrio rispetto agli altri due assi . Questa equazione di equilibrio l'hai scritta bene :

L'equazione di equilibrio attorno all'asse 3' parallelo all'asse 3 e passante per il centro del cubetto sarebbe questa:

$ -(sigma_12+(partialsigma_12)/(partial x_2)dx_2)dx_1dx_3dx_2/2-sigma_12dx_1dx_3dx_2/2+(sigma_21+(partial sigma_21)/(partial x_1)dx_1)dx_2dx_3dx_1/2+sigma_21dx_2dx_3dx_1/2=0 $

Semplificando risulta $ sigma_12=sigma_21 $

Solo che non capisco perché all'equilibrio alla rotazione attorno a quest'asse concorrano solo queste componenti di tensione $ sigma_12 $ , $ sigma_21 $ e non le altre.

adesso lo hai capito ? In questo schizzo (finalmente sono a casa e posso disegnare) ho indicato i soli 4 sforzi elementari che interessano ( trascurando i differenziali per non complicare inutilmente il disegno) per l'equilibrio dei momenti rispetto all'asse 3' :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[nico97it]

Ti ringrazio, finalmente ora mi è chiaro. Grazie mille per la disponibilità