Somma serie di funzioni

[guidocastiello00]

Salve,ho determinato convergenza puntuale,assoluta e uniforme della suddetta serie: $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^(2){(e)^(-x^(2)-x)}^(n)$,qualcuno può ora aiutarmi a caloclare la somma,ho provato a derivare e integrare ma non ho ottenuto nulla al momento!

[dissonance]

Vuoi dire "della seguente serie". "Suddetta" significa che lo hai detto su, ma su non c'è niente.

Comunque, poni \(y=-x^2-x\), e ti ritrovi a calcolare
\[
\sum_{n=0}^\infty n^2 e^{-yn}.\]
Vedi un po' cosa succede se derivi due volte, rispetto ad \(y\), la serie
\[
\sum_{n=0}^\infty e^{-yn}.\]
Quest'ultima la sai calcolare, perché è una serie geometrica. Resta solo da calcolare la derivata seconda.

[Raptorista]

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.

[pilloeffe]

Ciao guidocastiello00,

Più in generale per $y \ne 1$ si ha:

\begin{equation}
\boxed{\sum_{n=1}^{m} n^r y^{n} = \bigg(y\,\dfrac{d}{dy} \bigg)^{r} \dfrac{y - y^{m + 1}}{1 - y}
\hskip 2.0cm 0 \le r \le m}
\end{equation}

Per $r = 2 $ si ha:

\begin{equation}
\boxed{
\begin{split}
& y + 4y^2 + 9y^3 + \dots + m^2y^{m} = \sum_{n=1}^{m} n^2 y^{n} =\\
& =
\begin{cases}
y \cdot \dfrac{1 + y - (m + 1)^2y^{m} + (2m^2 + 2m - 1)y^{m + 1} - m^2y^{m + 2}}{(1 - y)^3} & \text{se $y \ne 1$}\\
\dfrac{m \cdot (m + 1)(2m + 1)}{6} & \text{se $y = 1$}
\end{cases}
\end{split}}
\end{equation}

Quindi si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} n^2 y^{n} = \lim_{m \to +\infty} \sum_{n=1}^{m} n^2 y^{n} = y \cdot \frac{1 + y}{(1 - y)^3} $

se $|y| < 1 $.

[guidocastiello00]

Grazie mille per l'aiuto anche se ti rispondo dopo tanto tempo,grazie infinite!