Integrale triplo

[bastian.0]

Ciao a tutti.
Ho un problema con questo integrale triplo questa volta rispetto alle altre volte non riesco proprio a impostarlo.
$ int int int_(D)^() 2zdx dy dz $
Dove D =$[(x,y,z) in R^3 2sqrt(x^2+y^2)<=z<=x+2]$
Io vorrei integrarlo per fili su z. La integro tra le due funzioni e ho trovato l'insieme radiale x^2+y^2 che varia tra 0 e 2 dove 2 è l'intersezione del cilindro con il piano nel 1 quad.
Quindi faccio variare $theta$ tra 0 e $2pi$ e $rho$ tra 0 e 2 ma non dà il risultato finale che è $(16/9)pi(10/(sqrt3)-1) $
Non riesco a capire l'impostazione e come devo procedere
Grazie per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao bastian.0,

Se osservi bene l'insieme $D $ si tratta di un cono infinito avente vertice $V -= O(0,0,0) $ che si sviluppa verso $z > 0 $ che si interseca col piano di equazione $z = x + 2 $, quindi la cosa più semplice mi pare integrare per fili paralleli all'asse $z$:

$\int \int \int_D 2z \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 2 \int\int_A [\int_{2\sqrt{x^2 + y^2}}^{x + 2} z \text{d}z] \text{d}x \text{d}y = 2 \int\int_A [z^2/2]_{2\sqrt{x^2 + y^2}}^{x + 2} \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int\int_A [(x + 2)^2 - 4(x^2 + y^2)] \text{d}x \text{d}y $

ove $A := {(x, y) \in \RR^2 : 2\sqrt{x^2 + y^2} < x + 2} $

[bastian.0]

Eh ma quali sono gli estremi di integrazione nel caso volessi utilizzare le coordinate polari ? Non riesco a trovare rho e theta.
Ti ringrazio sempre tantissimo per l'aiuto

[pilloeffe]

Ti ringrazio sempre tantissimo per l'aiuto

Prego!

Non riesco a trovare rho e theta

Beh, $0 <= \theta < 2\pi $ come hai già scritto nell'OP, poi rielaborando $A$ dovresti scoprire che si tratta di un'ellisse di centro $C(2/3, 0) $, quindi sconsiglierei le coordinate polari e proverei invece con le coordinate ellittiche...

[bastian.0]

Domanda... Io quando voglio integrare per fili cerco le funzioni tra cui varia la z e poi per il dominio in xy radiale pongo z=0 in questo caso, pero facendo cosi non trovo in realtà un cilindro? Come faccio a capire che è proprio il dominio che mi serve? In realtà se pongo $Sqrt(x^2+y^2)=0 non ho un punto? Non mi è molto chiaro questo passaggio...
Grazie

[bastian.0]

Comunque non mi dà il risultato a voi torna? Quindi integro la z tra $ [2sqrt(x^2+y^2),x+2]$ e sul dominio in xy dell'ellisse $(x-2/3)^2+(4/3)y^2=16/9$ quindi coordinate ellittiche $x=2/3+rho cos(theta)$ e $y=(sqrt3)/2 rho sin(theta)$ ? $theta$ varierà tra $(0,2pi)$ e $rho$ tra $(0,4/3)$ ? Forse sbaglio

[pilloeffe]

Dalla $ 2\sqrt{x^2 + y^2} < x + 2 \implies \sqrt{x^2 + y^2} < x/2 + 1 $ elevando al quadrato dopo un po' di elaborazioni si ottiene:

$ (x - 2/3)^2/(16/9) + y^2/(4/3) < 1 $

Quindi l'equazione che hai ottenuto è corretta, ma è il bordo dell'ellisse mentre qui stiamo parlando dell'interno. Invece le coordinate ellittiche le hai proprio sbagliate perché sono le seguenti:

$\{(x = 2/3 + 4/3\rho cos\theta),(y = 2/3 \sqrt{3}\rho sin\theta):}$

Occhio al determinante dello jacobiano che vale $ 8/9 sqrt{3}\rho $

[bastian.0]

Ti dà il risultato per caso? Perché io ottengo $pi64/81 sqrt3$ ma non ne sono molto convinto invece dovrebbe essere [$(16/9)pi(10/(sqrt3)-1)$]

[pilloeffe]

A me risulta $64/27 \sqrt{3}\pi $

[bastian.0]

Quindi pensi sia errore di stampa? C'è un altro modo per svolgerlo? Perché per strati mi sembra molto più complesso...