Derivate nelle equazioni differenziali

Messaggioda SalvatCpo » 19/09/2019, 17:47

Sia $ L=m/2(x')^2-k/mx^3 $ .

$ (partial L)/(partial x) =-3k/mx^2 $ e
$ (partial L)/(partial x') =mx' $
sono calcoli corretti?

x' sta per derivata prima (temporale) di x.
m e k sono costanti. x e x' non lo sono.
Non credo ci sia altro da specificare.

Non so se si intuisce ma si tratta di una lagrangiana un po' strana (meccanica analitica).
Cioè quello che non so è se derivando su x' devo considerare x come una costante (quindi ininfluente) e viceversa, oppure no.
Sicuramente i calcoli sono corretti se x e x' sono indipendenti fra loro, ma mi sembra una condizione un po' assurda.
x non è affatto una costante e certamente dipende dal tempo altrimenti x' sarebbe 0. Inoltre anche x' deve dipendere dal tempo perchè fra i dati iniziali è scritto che non è una costante.


Grazie in anticipo
SalvatCpo
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Re: Derivate nelle equazioni differenziali

Messaggioda dissonance » 19/09/2019, 19:04

Si, è giusto.
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Re: Derivate nelle equazioni differenziali

Messaggioda gugo82 » 19/09/2019, 22:41

Proprio per evitare questo tipo di fraintendimenti, usualmente si introduce una altra variabile al posto di $dot(x)$; di solito si usa $q$.
Quindi la tua lagrangiana si scriverebbe $ L=m/2 q^2-k/m x^3 $ e la derivata che ti interessa è semplicemente $(partial L)/(partial q)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Derivate nelle equazioni differenziali

Messaggioda feddy » 19/09/2019, 23:31

@gugo
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Notazione dell'Evans :-)
Anche se io ho sempre visto usare in meccanica analitica $q$ e $\dot{q}$ per indicare le coordinate lagrangiane
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Re: Derivate nelle equazioni differenziali

Messaggioda Raptorista » 20/09/2019, 14:46

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Sposto da Analisi superiore.
Un matematico ha scritto:... come mia nonna che vuole da anni il sistema per vincere al lotto e crede che io, in quanto matematico, sia fallito perché non glielo trovo


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Re: Derivate nelle equazioni differenziali

Messaggioda gugo82 » 20/09/2019, 15:21

@ feddy:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
In realtà è una modifica della classica notazione di Monge1, in cui negli argomenti di una funzione di cinque variabili che dipende da:

  • due variabili $x,y$,

  • una funzione delle due variabili $z(x,y)$,

  • le due derivate parziali $(partial z)/(partial x)(x,y)$ e $(partial z)/(partial y)(x,y)$ della funzione $z(x,y)$,

si usano i simboli $z$, $p$ e $q$ per denotare la funzione e le sue due derivate ($p=z_x$ e $q=z_y$); in altri termini, al posto di $L(x,y,z,(partial z)/(partial x), (partial z)/(partial y))$ si usa scrivere $L(x,y,z,p,q)$.

Note

  1. Da Gaspard Monge (1746 - 1818), matematico francese, anche se non so se davvero l’ha introdotta lui.
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