@arnett Sì, definisco un intorno di \( x \) come un insieme qualunque, che contenga un aperto contenente \( x \).
arnett ha scritto:Non mi ricordo cosa fa Manetti
Il titoletto era solo per dire che stavo dimostrando che uno spazio qualunque \( X \) ha ogni singoletto chiuso (la definizione di T1 data dal Manetti) se e solo se - come hai detto tu - vale che per ogni coppia di punti \( x \) e \( y \) distinti, eccetera, eccetera.
Hai ragione riguardo alla dimostrazione! Quel "Dati due punti \( x\neq y \) [...]" non ha il minimo senso, tra l'altro. Quello che avevo in mente era dimostrare che in uno spazio T1 (secondo la tua definizione) il complementare di un singoletto è intorno di ogni suo punto. Ho ragionato così: se \( x\in X \), spazio T1, allora per ogni \( y\in X\setminus\{x\} \) sarà \( y\neq x \), e dunque ci sarà un intorno di \( y \) che non contiene \( x \). Questo, assieme al fatto che \( X\setminus\{x\} \) è il più grande sottoinsieme di \( X \) che non contiene \( x \), se non ho tropppo sonno, dovrebbe dare la tesi.
arnett ha scritto:L'altra implicazione è ovvia: come intorno di y che non contiene x si prende X−{x} e idem scambiando x e y.
Certo, ho evitato di scriverla per questo.