\( X \) è T1 se e solo se gli l'intersezione degli intorni di \( x\in X \) è un singoletto

[marco2132k]

Ciao. Sia \( \left(X,\tau\right) \) uno spazio topologico. Voglio provare che \( X \) è T1 ("i punti sono chiusi") se e solo se l'intersezione degli intorni di un \( x\in X \) è uguale al singoletto \( \{x\} \).

L'unico tentativo che ho fatto, e solo per dimostrare la diretta, è stato considerare la base locale degli aperti contenenti \( x \), e provare a cavarci qualche cosa.

Mi piacerebbe avere qualche suggerimento (Posto perché il tempo mi stringe, e se mi fermo non riesco a fare più nulla c:).

[dissonance]

Io invece consiglio di sfruttare il fatto che, se \(X\) è T1, allora l'intersezione degli intorni di \(x\) è contenuta nell'intersezione dei complementari \(X\setminus\{y\}\), dove \(y\ne x\). Infatti, tali complementari sono intorni di \(x\).

Per il viceversa, immagino che il suggerimento di arnett sia di aiuto.

[vict85]

Anche io penso che il suggerimento di arnett sia il più semplice, supponendo che la definizione di spazio T1 che usi sia "i singoletti sono chiusi".

Supponi di avere che per ogni \(x,y \in X\) con \(x \neq y\), esiste un intorno \(U_{x,y}\) di \(x\) tale che \(y\notin U\) (il suggerimento di arnett). Allora fissato un \(y\in X\) si ha che \(\{y\} = \bigcap_{x\neq y} U_{x,y}^{\complement}\). Mentre fissando \(x\in X\) si ha che \(\{ x \} \subseteq \bigcap U \subseteq \bigcap_{y\neq x } U_{x,y} \subseteq \bigcap_{y\neq x } \{y\}^{\complement} = \{x\} \).

Quindi è evidente che la proprietà di arnett implica le altre due. Il passaggio restante è dimostrare le implicazioni inverse. Ma non sono difficili.

[marco2132k]

Grazie per le risposte!

1. Usando la caratterizzazione di @arnett (che è quella che ha enunciato originariamente Fréchet, se non ho letto male) la cosa si fa proprio a mente, è vero.

Proposizione ("T1 del Manetti \( \iff \) T1 di @arnett"). Sia data, per ogni \( x\neq y \) di uno spazio topologico \( X \), rispettivamente l'esistenza un intorno \( U \) di \( x \) che non contiene \( y \) e un intorno \( V \) di \( y \) che non contiene \( x \). Dati due punti \( x\neq y \) dello spazio, il complementare \( X\setminus\{x\} \) è un intorno di \( y \), perché la condizione imposta sui due punti implica che un intorno \( V \) di \( y \) tale che \( x\not\in V \) - e dunque \( V\subset X\setminus\{x\} \) - ci sia. Quest'insieme è evidentemente aperto. Il viceversa come avete detto si vede subito. \( \square \)

L'esercizio. La diretta è immediata. Se dato \( x\in X \) e detta \( \mathscr{I}(x) \) la famiglia dei suoi intorni è \( \bigcap\mathscr{I}(x)=\{x\} \), allora ammettere che tutti gli intorni di almeno uno di due punti \( x\neq y \) contengano necessariamente anche l'altro è contraddittorio, perché allora l'intersezione di questi ragazzi conterrebbe anche un punto diverso da quello considerato. \( \square \)


2. È, come credo aver capito da quello che avete scritto, più conveniente dimostrare una direzione con una caratterizzazione di spazio T1, e un'altra usando quella di @arnett. Ma vabbè, son sottigliezze.

[marco2132k]

@arnett Sì, definisco un intorno di \( x \) come un insieme qualunque, che contenga un aperto contenente \( x \).

Non mi ricordo cosa fa Manetti

Il titoletto era solo per dire che stavo dimostrando che uno spazio qualunque \( X \) ha ogni singoletto chiuso (la definizione di T1 data dal Manetti) se e solo se - come hai detto tu - vale che per ogni coppia di punti \( x \) e \( y \) distinti, eccetera, eccetera.

Hai ragione riguardo alla dimostrazione! Quel "Dati due punti \( x\neq y \) [...]" non ha il minimo senso, tra l'altro. Quello che avevo in mente era dimostrare che in uno spazio T1 (secondo la tua definizione) il complementare di un singoletto è intorno di ogni suo punto. Ho ragionato così: se \( x\in X \), spazio T1, allora per ogni \( y\in X\setminus\{x\} \) sarà \( y\neq x \), e dunque ci sarà un intorno di \( y \) che non contiene \( x \). Questo, assieme al fatto che \( X\setminus\{x\} \) è il più grande sottoinsieme di \( X \) che non contiene \( x \), se non ho tropppo sonno, dovrebbe dare la tesi.

L'altra implicazione è ovvia: come intorno di y che non contiene x si prende X−{x} e idem scambiando x e y.

Certo, ho evitato di scriverla per questo.