Applicazione lineare che mandi in un rettangolo

[Nathann]

Buonasera, fra non molti giorni avrò l'esame di algebra lineare. La consegna dell'esercizio è la seguente:
"Costruire un' applicazione lineare $\varphi$: R^2 ->R^2 che mandi il rettangolo di vertici
A=(0, 0), B=(2, 0), C=(2, 1), D=(0, 1)
in un rettangolo contenuto all'interno della circonferenza di raggio 1 e centro A".
Ho pensato, l'applicazione lineare esiste(non mi sembra l'unica quanto alla scelta de vettori immagini, non ne sono sicuro) per il fatto che riesca a scegliere due vettori che formano una base dell'insieme di partenza.
Per la scelta dei rispettivi vettori immagini non riesco a capire come procedere, scelgo una base dell'immagine di due vettori, indipendenti, e calcolo la matrice associata?
Premetto che so calcolare la matrice associata, e che per costruire l'applicazione lineare dovrei moltiplicare la matrice associata al vettore colonna ( ( x ),( y ) ) .

[Bokonon]

Ciao Nathann
Ragioniamo insieme.
Ovviamente si intende dire che dopo la trasformazione, i punti staranno dentro una circonferenza di raggio 1 e centro nell'origine. Inoltre il rettangolo deve solo starci dentro (mantenendo ovviamente le proporzioni), quindi niente di speciale (come essere inscritto...cosa impossibile come vedremo).
Infine deve essere un'applicazione lineare.
Cosa accadrebbe se traslassimo i punti?

[Nathann]

Buongiorno, grazie per l'aiuto.
L'unica cosa che mi viene in mente è che i vertici traslati darebbero origine a un rettangolo di area minore.

[Bokonon]

Buongiorno, grazie per l'aiuto.
L'unica cosa che mi viene in mente è che i vertici traslati darebbero origine a un rettangolo di area minore.

Noooooo
La risposta è che la traslazione NON è una applicazione lineare.
La traslazione sposta l'origine e nessuna trasformazione lineare può farlo (una trasformazione affine invece si).
In uno spazio di vettori solo rotazioni e allungamenti/accorciamenti delle basi sono lineari.
In uno spazio di polinomi invece anche la traslazione è lineare.

Morale: la traslazione va esclusa.
Per mantenere le proporzioni del rettangolo e rimpicciolirlo (come da foto), cosa possiamo fare?

[Nathann]

Si può moltiplicare per uno scalare e accorciare i vettori di partenza.

[Bokonon]

Si può moltiplicare per uno scalare e accorciare i vettori di partenza.

Esatto. Quindi una matrice $kI$, prova k=1/4