Data l'area, calcolare 3 punti del piano dato

[Nathann]

Buongiorno, il testo dell'esercizio mi chiede: "Determinare 3 punti in H tale che l'area della regione triangolare con vertici tali 3 punti abbia area 1". Piano H ={(x, y, z) ∈ R^3 : 2x - y + 2z = 1}

Sono a conoscenza della formula dell'area del triangolo (pari alla metà dell'area del parallelogramma) tramite la norma del prodotto vettoriale di due vettori. I 3 punti che scelgo non devono essere allineati.
Non so come impostare questo sistema

[anto_zoolander]

Puoi ragionare così; il piano $H$ lo puoi scrivere come $[(0),(-1),(0)]+<<[(1),(2),(0)];[(0),(2),(1)]>>$

prendi due punti fissi $P_1=[(0),(-1),(0)]$, $P_2=[(1),(1),(0)]$ e uno variabile $P_3=[(x),(2x+2y-1),(y)]$

consideri i due lati(vettori) $v=P_1P_2=[(1),(2),(0)]$ e $w=P_1P_3=[(x),(2x+2y),(y)]$

puoi considerare l'area generica $A(x,y)=1/2sqrt(norm(v)^2norm(w)^2- <<v|w>>^2)$

e verrà $A(x,y)=3/2abs(y)$ ovvero non dipende da $x$
quindi se per esempio $A(x,y)=1$ allora basta prendere $y=2/3$ e tutti i punti $[(x),(2x+1/3),(2/3)]$

danno la terna $[(0),(-1),(0)]$, $[(1),(1),(0)]$, $[(x),(2x+1/3),(2/3)]$ formante un triangolo di area unitaria