Legge dei grandi numeri - Ipotesi forte e debole

[squalllionheart]

Scusate visto la sconfinata mole di teoremi che portano tutti il nome di Legge dei grandi Numeri, mi sta venendo un dubbio sulle ipotesi, in entrambi i casi tutti i termini $X_i$ della successione di variabili casuali $X_n$ devono essere i.i.d. e avere STESSA MEDIA E STESSA VARIANZA (FINITA)?

[tommik]

In realtà l'ipotesi che le variabili siano identicamente distribuite non è strettamente necessaria. E' sufficiente che siano indipendenti e che valga il Criterio di Kolmogorov, ovvero che la serie $Sigma_n (V(X_n))/n^2<oo$

Esempio:

prendiamo la successione di variabili ${X_n}$ indipendenti

$X_n={{: ( 0 , sqrt(n) ),( 1-1/sqrt(n) , 1/sqrt(n) ) :}$

(che evidentemente non sono identicamente distribuite)

Si può usare la SLLN per provare che $bar(X)_n\stackrel(" q.c. ")rarr 1$

Comunque sì, i teoremi sono parecchi....però gli esercizi sono interessanti; posta qualche esempio che ne discutiamo sicuramente insieme con mutua soddisfazione.

[squalllionheart]

Grazie, mi servirebbe qualche esempio sulla convergenza, per capire bene la definizione tra convervengenza in probabilità e quasi certa.

[tommik]

domani metto giù qualche esempio e controesempio

[squalllionheart]

Perfetto, che questi mesi ci divertiamo

[tommik]

Vediamo un esempio semplice semplice ma che si presta a diverse interpretazioni

Consideriamo una successione di variabili aleatorie ${X_n}_(n in NN)$ con la seguente distribuzione

$X_n={{: ( 0 , 1),( 1-1/n , 1/n):}$

E' evidente che, se la successione converge in qualche senso, converge a zero, dato che la probabilità che le variabili valgano 1 è sempre più bassa al crescere di $n$

Le variabili non sono identicamente distribuite, dato che sono bernulliane di parametro variabile $1/n$ e, per il momento, non facciamo nemmeno ipotesi di indipendenza...

Per vedere l'ovvia consistenza ovvero la convergenza in probabilità, basta usare la definizione

$lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[X_n>epsilon]=1/n rarr 0$

e quindi scriviamo $X_n\stackrel(" "mathcal(P)" ")rarr0$ ovvero la successione converge in probabilità a zero senza fare alcuna ipotesi di indipendenza o identica distribuzione.

Ora supponiamo che le variabili siano indipendenti. Per provare o confutare la convergenza quasi certa utilizziamo il Lemma di Borel Cantelli (che, in caso di indipendenza¹, è condizione necessaria e sufficiente per la convergenza q.c.)

$Sigma_n mathbb{P}[X_n>epsilon]=Sigma_n 1/n=oo$

La serie non converge, le variabili sono indipendenti, applico il secondo Lemma di BC e concludo che la successione, pur convergendo in probabilità, non converge q.c. a zero

Vediamo come cambiano le cose eliminando l'ipotesi di indipendenza delle variabili....

A questo punto la divergenza della serie non ci può dire più nulla perché il secondo lemma non è applicabile.

Però possiamo strutturare la successione in questo modo. Prendiamo una variabile $U$ uniforme in $[0;1]$ e riscriviamo la distribuzione delle variabili della nostra successione così:

$X_n={{: ( 0 , 1),( U>1/n , U<=1/n):}$

Così costruite, è evidente che

$mathbb{P}({u in U: lim_n X_n(u)=0})=1$

in quanto $X_n(u)=1$ soltanto quando $U=0$ ma $mathbb{P}[U=0]=0$

In sostanza, eliminando l'ipotesi di indipendenza abbiamo che $X_n\stackrel(" q.c. ")rarr0$

^^^^^^^^^^^^^^^^
Che con questa costruzione le variabili della successione non siano indipendenti si vede facilmente così:

Prendiamo due valori $m>n$ e calcoliamo la probabilità congiunta (basta fare un disegno per rendersene conto)

$mathbb{P}[X_n=1;X_m=1]=1/m !=1/mxx1/n$

Spero di averti chiarito un po' il problema... non è un argomento semplicissimo; cerca qualche esercizio, prova a risolverlo postando un topic per ogni esercizio e vedrai che qualcuno ti aiuterà sicuramente a chiarire meglio la questione. Per studiare la convergenza quasi certa ci sono diverse vie e, a seconda dell'esercizio, è opportuno scegliere la più comoda

1) Lemma di BC

2) caratteristiche della successione (monotonia e limitatezza)

3) Legge forte dei grandi numeri

4) Definizione

5) Conservazione della continuità (Continuous Mapping Theorems)

6) Altre proprietà

7) un mix delle precedenti

Saluti

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Note

1. ↑