Sai perché te lo dice un software?
Bel modo di sapere, fidarsi di un programmino piuttosto che della propria testa (o di quella di uno più esperto cui si è chiesto aiuto…).
Ad ogni buon conto, quel limite si risolve usando un po’ di approssimazioni di Taylor, che dovresti saper maneggiare da Analisi I.
Per il resto, valgono le osservazioni che riporto qui sotto in spoiler, così da non rovinare il lavoro a WolframAlpha.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La funzione integranda è olomorfa in $CC \setminus \{0,1,-2\}$; tuttavia i punti singolari $1,-2$ sono eliminabili, per compensazione dell’ordine degli zeri di numeratore e denominatore.
Conseguentemente, la funzione integranda (opportunamente prolungata) ha nell’aperto $Omega := \{ z in CC: |z + 1| < 3\}$ delimitato dal cammino d’integrazione l’unica singolarità $z_0=0$ che, per compensazione di ordini, è polare d’ordine $2$; per questo motivo:
$int_(+gamma) f(z) text(d) z = 2 pi i\ text(Res)(f;0)$.
Per noti fatti:
$text(Res)(f;0) = lim_(z -> 0) (text(d))/(text(d) z) [z^2 f(z)] = lim_(z -> 0) (text(d))/(text(d) z) [(sin(pi z))/(z(z-1)(z+2))] lim_(z -> 0) (pi cos(pi z) z(z-1)(z+2) - sin(pi z)(3z^2+2z-2))/(z^2(z-1)^2(z+2)^2) = lim_(z -> 0) (- pi z^2)/(4z^2) = - pi/4$,
dunque:
$int_(+gamma) f(z) text(d) z = - pi^2/2 i$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)