divisione di due serie di potenze

[gionni98]

Salve a tutti, ho un problema con la dimostrazione della tangente come divisione di seno con coseno sotto forma di serie di potenze. Dal libro non riesco a capire qual è il metodo che utilizza, e con la normale divisione di polinomi non mi trovo. Potete aiutarmi?

[gugo82]

Non si capisce cosa vuoi fare.
Spiega meglio.

[gionni98]

$ tan x=sin x/cos x=(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+ ...)/(1-x^2/(2!)+x^4/(4!)+...) $
come faccio a fare questa divisione?
Con il metodo della divisione tra polinomi non mi trovo.

[gugo82]

Immagino (pur non essendo sicuro, perché, come al solito, non spieghi decentemente cosa vuoi fare) che tu voglia ricavare l’espansione in serie di MacLaurin di $tan x$ sfruttando le espansioni in serie di $sin x$ e $cos x$ e qualche regola algebrica per “svolgere la divisione” tra serie di potenze.
Giusto?

Che dice il testo?
C’è un paragrafo in merito?

L’unico testo su cui ho visto trattare la questione è il Cartan Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, cap. 1.

[gionni98]

Si esattamente. Il testo non dà un vero e proprio procedimento per risolvere la cosa, fa semplicemente vedere i passaggi per arrivare alla soluzione. Pensavo ci fosse un qualche metodo generale per risolvere la divisione, ma ad intuito credo di essere arrivato alla soluzione.

[gugo82]

Una divisione non si “risolve”, al massimo si svolge.

Il metodo c’è ma è bruttino assai.
Nota che $1/(cos x) = 1/( 1 - (1 - cos x)) = sum_(n = 0)^oo (1 - cos x)^n$; visto che $1 - cos x = sum_(k=1)^oo (-1)^(k+1)/((2k)!) x ^(2k)$, puoi sostituire e scrivere:

$1/(cos x) = sum_(n = 0)^oo (sum_(k=1)^oo (-1)^(k+1)/((2k)!) x ^(2k))^n$

che, sviluppando le potenze $n$-esime con criterio, ti porta ad ottenere i coefficienti dello sviluppo in serie di $1/(cos x)$.
Dopodiché, bisogna svolgere il prodotto secondo Cauchy delle due serie di $sin x$ ed $1/(cos x)$…

Questo metodo è essenzialmente inutile ai fini pratici.

[gionni98]

Molto contorto. Provo a trovare un filo logico nella divisione così da non incasinarmi troppo le idee, ma grazie mille per l'aiuto.