Integrale triplo

[bastian.0]

Ciao, ho una domanda.
$ int int int_(D)^()(x^2+y^2)^(3/2) dx dy dz $
Dove D è la regione di spazio interna al cono di equazione x^2+y^2=z e sottostante il piano parallelo al piano xy passante per (2,3,4)
allora, secondo me a monte c'è già un errore perché non è un cono ma un paraboloide (giusto?)
poi, ho integrato per strati tra z(0,4) e su un dominio in $R^2$ nel piano xy quindi $0<=x^2+y^2<=z$ ,ho usato le coordinate polari e mi sono ritrovato con un risultato diverso dal testo, che è (quello del testo) $512/pi$
Vi risulta o avete un altro risultato? Ho sbagliato qualcosa io?
Grazie mille

[dissonance]

Effettivamente quello è un paraboloide e non un cono. Quanto al risultato, sospetto tu abbia fatto qualche casino, perché più che le coordinate polari, li bisogna usare le coordinate cilindriche.

[bastian.0]

Eh, io le coordinate polari le ho usate sul dominio xy radiale, dopo ho integrato su z, integro per strati

[dissonance]

Ok, è lo stesso di usare le coordinate cilindriche, allora in principio va bene.

[bastian.0]

A te che risultato dà? Non so se è errore di stampa

[dissonance]

Buh. Non ho fatto tutti i conti e non ho intenzione di farli. Comunque, usando le coordinate cilindriche
\[
x=r\cos \phi, \quad y=r\sin \phi, \quad z=z, \]
si ha \(dxdydz=rdrd\phi dz\), la regione \(D\) è data da \(r\le \sqrt z, \ z\in[0, 4]\) (come vedi, è molto semplice), e quindi devi calcolare
\[
\int_0^4dz\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\sqrt{z}} r^4\, dr.\]
Vedi un po' se finendo questo calcolo ti ritrovi con il tuo risultato. Quello del libro mi pare proprio sbagliato, perché quel \(\pi\) deve stare al numeratore e non al denominatore, esso viene dall'integrale \(\int_0^{2\pi}\, d\phi=2\pi\).

[bastian.0]

Si infatti il pi greco a denominatore non lo comprendevo. Mi dà lo stesso risultato si grazie mille!

[pilloeffe]

Ciao bastian.0,

Mi dà lo stesso risultato

Scusa, ma quale risultato ti dà?
Salvo errori a me risulta $512/35 \pi $

[bastian.0]

Si mi dà proprio quel risultato. Allora si ok errore di stampa. Grazie mille