Singolarità e residuo

[Lucal96]

Ciao ragazzi, nell'ultima prova il professore ha messo questa funzione:
$ f(z)=cot(z)/z^2 $
La traccia è cercare tutte le singolarità della funzione e inoltre trovare il valore del residuo in 0 della funzione. Ho già trovato le singolarità, dovrebbero essere 2 poli ovvero 0 e kpi, 0 polo di ordine 3 per k=0 e kpi di ordine 1 per k!=0, per il residuo non ho proprio idea di come procedere, ho pensato di utilizzare Laurent ma non so come procedere... Grazie a chi mi aiuterà.

[gugo82]

Due poli?
Due?
Dai su…

Per il resto, sì: espandi la cotangente in serie di Taylor (ti bastano i primi termini) e fai due calcoli.

[Lucal96]

Ciao, grazie per la risposta, quindi il residuo è $ -1/3 $ giusto? Posso chiederti perché non sono due i poli? Dovrebbero essere due per k!=0 e 1 per k=0 giusto?

Ho scritto due perché la funzione era data come $ cos(z)/((z^2)(sin(z))) $ e io, cambiando il cos/sen con la cotangente, ho risolto il grande problema che c'era facendo lo sviluppo in serie senza accorgermene.

[gugo82]

Rispondo con una domanda: che cos’è $k$?

[Lucal96]

Ok forse ho capito, essendo k un numero appartenente all'insieme Z i poli sono infiniti essendo k un numero appartenente ad un insieme infinito?

[gugo82]

Già.

[Lucal96]

Grazie mille per l'aiuto

[Lucal96]

Scusa se disturbo ancora, in un esercizio successivo il professore chiede di trovare i residui in ogni singolarità isolata della funzione, dovrei utilizzare sempre la serie?
Se ho capito bene dovrei cercare il termine il cui denominatore è moltiplicato per (z-z0) ovvero in questo caso (z-kpi) essendo che non compaiono nella serie questi termini i residui sono tutti nulli?

[gugo82]

Ti conviene, secondo me, usare la formula di calcolo con il limite di una derivata.