Problema di Cauchy

[francisgiz]

Buongiorno a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema di Cauchy:
$ { ( x'(t)=x(t)(1-y^2(t)) ),( y'(t)=y(t)(x^2(t)-4) ),( x(0)=1;y(0)=0 ):} $
Ho pensato di dividere la prima per $x(t)$ e la seconda per $y(t)$ ma non saprei come integrare nei membri di destra. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma non so proprio che metodo utilizzare per risolverlo. Sapreste aiutarmi? Grazie mille anticipo!

[dissonance]

Vai a occhio. Prova con l'ansatz \(y=0\).

[francisgiz]

Ok, imponendo y=0 trovo x=e^t. Ma quindi mi confermi che non c'è un metodo preciso? Devo solo andare a tentativi? E come faccio a essere sicuro di aver trovato tutte le soluzioni?

[dissonance]

Uff quante domande, e dopo solo mezz'ora dalla mia risposta. Questa non è una chat, non sei obbligato a rispondere subito, hai tutto il tempo di riflettere. Riflettendo da solo, sei perfettamente in grado di trovare la risposta a tutto ciò che hai chiesto, specialmente a questo:

E come faccio a essere sicuro di aver trovato tutte le soluzioni?

HINT: il teorema fondamentale, che viene dalla teoria, sulle equazioni differenziali.

Quanto al "mi confermi", io ti posso pure confermare: non c'è un metodo generale. Ma anche queste sono cose che devi imparare da solo. Leggi, studia, parla con la gente. Se c'è un metodo generale, te ne accorgerai. Altrimenti significa che un metodo generale non c'è.

Sono finiti i tempi della scuola, quando il professore ti imboccava come un bambino. Adesso devi imparare ad essere autonomo.