buongiorno,
ho cercato in lungo e in largo una possibile soluzione al mio problema senza trovare risposta.
si tratta di un limite come dice il titolo, di cui conosco già il risultato, in particolare esiste e vale zero.
il limite e' il seguente:
$lim_{|(x , y)| \to \infty}(x^2*y)/(1+x^4+y^6)$
ho provato a passare in coordinate polari, ma non sono riuscito a trovare una funzione che fosse funzione solo del modulo r.
$(r^3*cos(\theta)*sin(\theta))/(1+r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)$
in particolare ho fatto le seguenti maggiorazioni:
$(r^3*cos(\theta)*sin(\theta))/(1+r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)<= (r^3)/(r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)=(r^3)/(r^3*(r*cos(\theta^4)+r^3*sin(\theta)^6))$
$=(1)/(r*cos(\theta^4)+r^3*sin(\theta)^6)$
ho quindi massimizzato il numeratore togliendo seno e coseno(sostituendoli con 1) e ho ridotto il denominatore togliendo l'1.
poi pero non sapevo come massimizzare ulteriormente la funzione.
volevo chiedere se qualcuno conoscesse una funzione solo della distanza dall'origine r che possa massimizzare la funzione in esame?
grazie.
ho fatto un tentativo per studiare la funzione maggiorante, ma sono riuscito a dimostrare solo che tendeva a zero su tutte le rette passanti per l'origine, e so che cio' non basta a determinare l'esistenza del limite.
$lim_{\bar r \to \infty} (r^3)/(r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)$
e ho analizzato rispetto a tutti i possibili angoli:
$*$prima di tutto $sen(/theta)$ e $cos(/theta)$ non sono mai nulli per lo stesso $/theta$
$*$ se $sin(/theta)=k, con k!=0$ allora sicuramente il limite su tale restrizione varrà zero.
$*$ se $sin(/theta)=0$ allora $r^6*sin(\theta)^6 = 0$, e sicuramente il coseno sara diverso da zero, e il limite a sua volta sara' nullo per $ r \to \infty $