Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda mgrau » 08/10/2019, 23:39

Nikikinki ha scritto:D'altronde nel nostro esercizio se il ragionamento fatto (che il rate è zero) fosse corretto sarebbe vero anche per qualsiasi altro angolo "esatto" . Ne trarremmo la conclusione assurda che non c'è nessun proiettile diffuso pur essendo la superficie bersagliata da essi.

Ti faccio un esempio che spero sia più chiaro.
Spariamo un miliardo di proiettili (puntiformi) su un bersaglio del diametro di un metro. Questi fanno un miliardo di buchi (puntiformi) che complessivamente hanno misura nulla. Ok, non sono l'insieme vuoto.
Se chiedo: quanti proiettili hanno colpito a 20 cm dal centro? la risposta ovviamente non la sappiamo, perchè i proiettili sono sparati a caso.
Però possiamo più sensatamente chiedere: che probabilità ha un proiettile di colpire a 20cm dal centro? e la risposta è ovviamente zero. Quindi forse la domanda ancora non è molto sensata.
Dovremo invece chiedere: che probabilità ha un proiettile di colpire a $20cm +- 1mm$? e qui finalmente abbiamo un valore non zero ed è il rapporto fra l'area della corona circolare di raggi $20cm +- 1mm$ e l'area del cerchio. Che però, ancora evidentemente, dipende dall'ampiezza della corona,
Tornando a noi, finchè si parla di angoli esatti, la risposta sarà sempre zero.
A meno che non si voglia intendere, come fai tu quando dici "diffusi fino a 20°", gli angoli da 0° a 20°. Peccato che il testo reciti: Quanti meteoriti vengono deviati di 20° ogni ora? che non mi sembra autorizzi questa lettura
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 09/10/2019, 06:21

Io ho capito quello che dici, tuttavia ti ripeto che è sbagliato. Perché, come ti ho detto, il tuo ragionamento porterebbe a dire che i proiettili non vengono mai diffusi. O nel tuo nuovo esempio che non c'è nessun buco sul bersaglio. Vedila così: qui i meteoriti (o i tuoi proiettili) non sono palline, sono "punti" ed un "punto" una linea la può colpire. Un punto, che ha dimensione nulla, può interagire con una curva, che ha area nulla. Ed il risultato è una quantità non nulla. L'errore concettuale in cui incorri non è troppo differente da ciò di cui si discuteva l'altro giorno. Dei proiettili che arrivano esattamente a 20 cm dal centro, esistono. Così come esistono quelli che arrivano a 21 come a 22,23 etc. Se ho un modello mentale che mi porta a dire che ciò non è vero allora non posso che accettare l'evidenza che, per quanto mi sembra funzionare bene in certi casi, non va bene in tutti e lo devo cambiare. È l'errore greco di Zenone, anche se in quel caso l'ingenuità mentale non era sul concetto di infinitesimo ma di infinito. Lui non credeva che sommando un numero infinito di termini potessimo avere un numero finito. Ora invece usiamo questi concetti continuamente. Pensa ancora alla retta reale, è sempre la stessa cosa. Nel segmento tra 0 e 1 ci sono infiniti numeri, ma il segmento è finito. È il risultato controintuitivo che si ha quando si passa da elementi discreti (palline, intervalli d'area etc) a insiemi continui. Tu puoi anche continuare a dire di essere in disaccordo, ed io lo rispetterei, tuttavia l'assurdo che ho indicato come conseguenza di quel ragionamento permane. Quindi il tuo ragionamento sarà corretto nel limite in cui puoi intendere le quantità di una certa dimensione (e lo è corretto intendiamoci) ma devi imboccare un altra via se vorrai indagare fenomeni meno "ovvi" dal punto di vista "quotidiano". D'altronde se ci pensi nel caso il pianeta avesse avuto atmosfera avremmo avuto un prototipo di atomo, con un nucleo ed uno schermo elettrostatico dovuto alla nuvola elettronica. Invece di quella sezione d'urto avremmo usato qualcosa di analogo alla sezione d'urto di Rutherford. Ed in quella sezione d'urto l'angolo è esplicito dal principio anche senza scomporre l'angolo solido. Quindi quella relazione ci serve per capire proprio quanti elettroni vengono diffusi, nello spazio, ad un "esatto" angolo. Secondo il tuo ragionamento Ruth avrebbe sbagliato a scrivere il modello dell'urto coulombiano e non avrebbe nemmeno dovuto osservare nulla nel suo esperimento e questo è impossibile.
O ancora un esempio diverso che realizza l'assurdo: nel problema da te esposto prendiamo un fascio in cui i proiettili arrivano solamente ed esattamente a 20 cm dal centro, lo costruisco così. A questo punto i oriettili sarebbero solo lì ma il ragionamento fallace ci porterebbe a dire che lì è proprio dove non possono essere. C'è qualche problema .
Prenditi un po'di tempo per pensarci e sono sicuro che ti accorgerai da solo della questione, ciò che ti trattiene è solo l'abitudine ad aver pensato in un certo modo perché ritengo che del nocciolo logico della questione te ne sia ben accorto. Se poi vorrai continuare con il tuo pensiero, come ho detto, lo rispetto e amici come prima ;)
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda mgrau » 09/10/2019, 10:32

Intanto, @Niki, ti ringrazio per la pacatezza della risposta. Altri mi avrebbero già mandato a quel paese. (Anche se io, personalmente, non sono tanto d'accordo sul "rispetto" delle opinioni che ritengo sbagliate, non semplicemente diverse: posso rispettare l'opinione di qualcuno a cui non piace la trippa, ma quella dei terrapiattisti, per esempio, non mi pare vada rispettata, va discussa e confutata: ma lasciamo stare).
E per ricambiarti la gentilezza eviterò di offendermi per il tuo sospetto che io non sappia la differenza fra discreto e continuo, Zenone, ecc. ecc.

Poi: potrei sapere quali sono i numeri che vi vengono fuori? E che cosa rappresentano, esattamente?

Poi ancora, nel merito: c'è evidentemente un fraintendimento, che cercherò di chiarire.
Riprendiamo il problema originale, con riferimento allo schema qui sotto



Immagine

Vediamo che i proiettili che cadono sul parallelo $theta$ sono deviati di $2theta$. E quelli che cadono fra l'equatore $theta = 0$ e il parallelo $theta$ sono deviati di un angolo compreso fra 0 e $2theta$.
E questi, quanti sono? In rapporto a quelli che colpiscono la sfera, ovvero la sua sezione massima, il cerchio che sta sopra, sono quelli che colpiscono la corona circolare tratteggiata, che ha raggio esterno $R$ e raggio interno $Rcos theta$.
L'area della corona è $piR^2 - pi(Rcostheta)^2 0 piR^2(1 - cos^2theta = piR^2sin^2theta$, e il rapporto fra l'area della corona e l'area del cerchio è quindi $(piR^2sin^2theta)/(piR^2) = sin^2theta$
Quindi, se indichiamo con $P(theta)$ la frazione di particelle diffuse con angolo minore o uguale di $2theta$, si ha $P(theta) = sin^2theta$. Questa rappresenta anche la probabilità che una particella sia diffusa fra 0 e $2theta$. Gli angoli possibili di diffusione vanno da 0° a 180°, in corrispondenza di ciò $P(180/2) = 1$, come ci aspettiamo. Per esempio, nel caso nostro risulta che la frazione di particelle diffuse con un angolo compreso fra 0 e 20°, viene $sin^2(10°)$, circa il 3%.
Questo è un risultato integrale. Se vogliamo conoscere la distribuzione delle particelle in funzione dell'angolo di diffusione dobbiamo derivare $P(theta)$ rispetto a $theta$ , e otteniamo $p(theta) = (dP(theta))/(d theta) = 2sintheta cos theta$.
Questo cosa rappresenta? Non è una probabilità di trovare un certo angolo, ma una densità di probabilità; ti dice quali sono gli angoli di diffusione più o meno probabili (per es. è interessante vedere che la deviazione più probabile è 90°).
Poi, per ottenere una probabilità, occorre moltiplicarla per un intervallo di angolo (piccolo, se no occorre un integrale).
Mi pare che stia qui tutta la nostra divergenza: secondo me, tu confondi probabilità con densità di probabilità; il valore che trovi per i famosi 20° non è una probabilità, nè un numero di meteoriti, perchè, se metti un numero esatto, è come mettere $d theta = 0$, il che ti azzera il risultato.
Insomma, la mia conclusione è:, finchè non assegni l'intervallo di angolo che ti interessa non troverai nessun numero diverso da zero
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 09/10/2019, 11:14

mgrau ha scritto:Poi: potrei sapere quali sono i numeri che vi vengono fuori? E che cosa rappresentano, esattamente?


Faccio anche io il conto, non so forse mi sono spiegato in modo poco chiaro. Il rate del processo è il numero di eventi nell'unità di tempo.

$R=j \sigma$ le dimensioni di $j$ sono $[#/("min"*m^2)]$ dove a numeratore c'è il numero di meteoriti , mentre la sezione d'urto ha le dimensioni di un'area (ma non è sempre un'area "reale" attenzione).

La distribuzione angolare data dalla sezione d'urto, per ciò che ho detto nel primo post è

$\sigma(\theta)=\pi r^2/2 sin\theta=\pi/2 (6*10^6)^2 sin(20°) = 2*10^13 m^2$ circa.

Il rate è quindi $R= 30 #/("min" *m^2) * (2*10^13) m^2=6*10^(14) #/("min")$ quindi in un'ora i meteoriti deflessi di 20° sono

$R_("orario")=6*10^(14) #/("min") * 60 ("min"/h)=3.6*10^(16) #/h$

( che non è nemmeno tanto distante dal primo calcolo approssimativo che avevi fatto se non erro, ti veniva un po' di più proprio in ragione del fatto che il tuo ragionamento applica un concetto discreto, mentre il limite continuo è questo che ho mostrato)

Ti faccio notare che integrato su tutto l'angolo solido la sezione d'urto è $\pi r^2$ ovviamente tutta l'area del cerchio massimo del pianeta. Quindi questo è il caso limite in cui prendiamo tutti quelli diffusi a qualsiasi angolo.

Per renderti evidente come la confusione non la faccia io ma tu, ti faccio notare la tua ipotesi

mgrau ha scritto:Vediamo che i proiettili che cadono sul parallelo $ theta $ sono deviati di $ 2theta $


Ma con quel modello da cui sei partito, e per cui hai calcolato gli angoli con i triangoli etc, il parallelo non è una fascia, è una linea. Altrimenti la deviazione su una fascia non sarebbe esattamente di $\theta$. Tu sei partito, per confutare il fatto che per un angolo esatto il numero di diffusioni è non nullo, con l'ipotesi che ad un angolo esatto, $theta$, ci sia un certo numero di diffusioni. L'hai scritto tu questa volta, non io. Su quella proiezione devono esserci delle diffusioni lungo quell'angolo. Parole tue. Questa è una evidente contraddizione, c'è poco da fare.

Convincitene. Oppure abbattiamo con un colpo di spugna tutta la teoria degli urti, classica, relativistica e quantistica e, non meno, delle evidenze sperimentali di almeno un centinaio di anni. Detto questo, non so davvero cosa dire di più.

Edit: Ti propongo un esercizietto tanto facile quanto profondo, che mi fu presentato dal mio professore di teoria della probabilità, alla prima lezione. Così magari uscendo da questo ambito particolare ci schiariamo la mente.

Sono alla fermata dell'autobus ed aspetto, ovviamente, il bus. Il bus può arrivare in un tempo massimo di 15 minuti. Disegno un segmento che rappresenta la linea temporale di quei 15 minuti. Il tempo è una quantità continua, quindi il fatto che il segmento sia continuo è assolutamente lecito. Ora mi chiedo, quale è la probabilità che il bus arrivi nei primi 5 minuti?
Facile, $P(0<=T<=5)=1/3$ . La probabilità che arrivi tra il 6° e 7° minuto? Facile $P(6<=T<=7)=1/(15)$

E la probabilità che arrivi esattamente al 5° minuto? Facile, abbiamo risposto noi, $P(T=5)=0$ . Il prof ha risposto: Quindi, se il bus arrivasse proprio al 5° minuto lo fareste andare via, se foste coerenti con voi stessi.

Quale è il nodo del nostro discorso? Il segmento è continuo. Il segmento è continuo, non discreto. Il fatto che la probabilità di un evento, nel continuo sia nulla, non implica che l'evento sia impossibile. Probabilità e possibilità sono cose diverse, così come è diverso un insieme vuoto (evento impossibile) ed un insieme a misura nulla (evento a probabilità zero).

Chiaro ora? :-)
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda mgrau » 09/10/2019, 12:47

Nikikinki ha scritto:Il rate del processo è il numero di eventi nell'unità di tempo.
....
quindi in un'ora i meteoriti deflessi di 20° sono

$3.6*10^(16) #/h$

Avevo chiesto "esattamente", peccato che non mi dici quali sono gli eventi... meteoriti deflessi esattamente di 20°? Ma se la probabilità di questo evento è zero (suppongo, no?, come l'autobus al 5° minuto) questo numero da dove salta fuori?1Se ti chiedessi, prendiamo un numero a caso fra 0 e 10, che probabilità c'è che sia proprio $pi$? Se ti chiedessi, quanti autobus in un anno arrivano esattamente al 5° minuto, cosa mi rispondi? E, detto fra noi, la risposta del tuo prof mi sembra una risposta del c***o, o meglio, non è una risposta affatto, se la domanda era "qual è la probabilità ecc". Ci aspettiamo un numero, e non un consiglio sul fatto di salire o no.
E' chiaro che $pi$ è un numero che esiste; è chiaro che un autobus può arrivare al 5° minuto (per quanto questa frase vada presa con le molle). Non sto affatto confondendo fra impossibilità e probabilità zero. Peccato che qui stiamo parlando di probabilità, almeno credo... se no il malinteso è più grosso che quel che penso :-D

Note

  1. Faccio un ultimo tentativo. Prendiamo per buono il tuo numero.Ora ti chiedo: se al posto di 20° mettiamo 20°,000000001, mi figuro, visto che parliamo di funzioni continue, che il numero che esce sia piuttosto vicino a quello sopra. E 20°,000000002? e 20°,000000003? ecc. Non ti pare che ne vengano fuori un po' troppi, di eventi? Facciamo presto a superare il totale, che ne dici?
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 09/10/2019, 13:00

Scusami, ma la pacatezza di cui sopra sta terminando.

mgrau ha scritto:
Nikikinki ha scritto:Il rate del processo è il numero di eventi nell'unità di tempo.
....
quindi in un'ora i meteoriti deflessi di 20° sono

$3.6*10^(16) #/h$

Avevo chiesto "esattamente", peccato che non mi dici quali sono gli eventi... meteoriti deflessi esattamente di 20°?


Mi prendi in giro? Cioè cosa c'è di equivoco in in un'ora i meteoriti deflessi di 20° sono?

Mi sembra di essere stato fin troppo paziente nel mostrarti gli innumerevoli salti logici che hai fatto, ma è evidente che tu non li voglia vedere, o non ci riesca.

Il resto del tuo commento evidenzia, a parer mio, che tu non voglia anche vista la deriva "linguistica" che hai preso, seppur asteriscata. Affermi di conoscere la differenza tra discreto e continuo ma continui a fare l'errore del fu Zenone per il quale mi avevi detto di averti ingiustamente accusato. Perciò sì, il malinteso è parecchio grosso ma non lo sto facendo io. Detto questo, l'ultimo tentativo l'ho fatto anche io nella precedente risposta e visto che siamo entrambi adulti io la chiudo qui. Ad eventuali altre risposte di questo calibro non assicuro di poter ribattere in modo composto, quindi eviterò di farlo. Ho già mostrato tutte le incongruenze in più di un modo, in ambito scientifico tanto basta e direi che chiunque legga possa accorgersene, quindi l'obiettivo prefisso è per me raggiunto. Pensala come vuoi e vai a dire al CERN che devono rivedere un attimino i loro modelli di scattering.

Saluti.
Nikikinki
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda mgrau » 09/10/2019, 13:05

Perfetto :smt023 . Chiudiamola qui
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda SalvatCpo » 12/10/2019, 16:31

@Nikikinki puoi integrare da 0 fino all'angolo massimo e mostrare che viene fuori l'intero flusso incidente?
Non lo faccio io perchè non ho ancora del tutto chiare le idee su questo argomento e ciò è testimoniato dal fatto che sto usando espressioni come "angolo massimo" che spero tu abbia compreso.
Cioè la somma di tutte le particelle deviate nell'unità di tempo, a qualsiasi angolo, deve pareggiare l'insieme di tutte le particelle incidenti nell'unità di tempo.
SalvatCpo
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Re: Esercizio sullo scattering

Messaggioda Nikikinki » 12/10/2019, 17:06

Niente di cervellotico sotto. I meteoriti diffusi a qualsiasi angolo devono essere dati dal flusso incidente per l'area della sezione massima della Terra. Quindi $j*\pi r^2$ .

La sezione d'urto differenziale è $(d\sigma)/(d\Omega)=r^2/4$ . Se integro sull'angolo solido ho

$\sigma=\int r^2/4 d\Omega= r^2/4 * 4\pi=\pi r^2$ quindi i meteoriti diffusi totali nell'nità di tempo sono $j*\sigma=j*\pi r^2$

come si voleva dimostrare. L'avevo anche scritto nelle precedenti risposte da qualche parte. Comunque questo è quanto.
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Messaggioda Sergeant Elias » 12/10/2019, 22:43

mgrau ha scritto:Faccio un ultimo tentativo.
Prendiamo per buono il tuo numero.
Ora ti chiedo: se al posto di 20° mettiamo ...
Facciamo presto a superare il totale ...

Scusate ma, come può non aver ragione mgrau? Tra l'altro, misurare gli eventi esattamente a 20° è fisicamente impossibile, visto che ogni grandezza fisica ha un'incertezza sperimentale. Quindi, delle due l'una: si integra su un intervallo angolare simmetrico rispetto a 20° e di ampiezza dipendente dall'incertezza sperimentale, come si farebbe in un qualsiasi laboratorio, oppure si interpreta il testo intendendo l'intervallo da 0° a 20°. Mi sembra che mgrau abbia preso in considerazione entrambe le ipotesi. Per quanto mi riguarda, volendo minimizzare il numero di informazioni da aggiungere al testo, propenderei per la seconda.
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