Problemi nell'applicare una definizione (causalità)

[lRninG]

Buongiorno. Studiando teoria dei segnali, mi trovo davanti alla definizione seguente:
Un sistema è causale se $y(t)=T[x(\tau);t]=T[x(\tau)u(t-\tau);t]$ dove $u(t)$ è il segnale gradino.
Provando a studiare un semplicissimo segnale come $y(t)=x(t+t_0)$ (che si vede a occhio esser causale), non riesco ad arrivarci tramite definizione.. Posto i passaggi:
In pratica perché i due funzionali siano uguali deve essere: $x(\tau+t_0) = x(\tau+t_0)u(t-\tau-t_0)$ e quindi da quel che mi sembra queste sono uguali sse $t>\tau + t_0$ ovvero quando il gradino vale $1$... Quindi non sembrerebbe causale..
Grazie anticipatamente!

[gugo82]

Perché trasli anche il gradino?

[lRninG]

Per la definizione... sempre che non io non sbagli nell'applicarla...

[gugo82]

Ah, ok, avevo interpretato male la definizione.

Insomma, tu dici che un sistema $y(t) = T[x](t)$, in cui $T$ è un qualche operatore, è causale se risulta $AA t>0,\ T[x](t) = T[x (1 - text(u)_t)](t)$, in cui $1-text(u)_t(tau) = 1-text(u)(tau - t) = \{ (1, text(, se ) tau <= t), (0, text(, se ) tau > t) :} = text(u) ( t - tau)$ è il gradino unitario ribaltato e centrato in $t$.
Questo, fisicamente, significa che il valore di $T[x]$ all’istante $t$, e dunque l’uscita $y$ all’istante $t$, dipende unicamente dai valori assunti dall’ingresso $x(tau)$ negli istanti $tau$ non successivi $t$ (cioè $tau <= t$).
Va bene.

Prendiamo l’operatore di traslazione $T[x](t) := x(t + t_0)$, in cui immagino sia $t_0 >0$.
Il sistema $y(t) = x(t + t_0)$ ti fa determinare il valore dell’uscita $y$ in $t$ conoscendo il valore dell’ingresso $x$ nell’istante $tau = t + t_0 > t$… Quindi, come fa ad essere causale?