Soluzione in f. espon. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda CosenTheta » 09/10/2019, 20:53

Si risolva l'equazione complessa:

\(\displaystyle z^6 + (jz^3)^* = 0 \).

Pongo \(\displaystyle z = Re^{j \theta} \), con \(\displaystyle R>0 \) necessariamente, trattandosi di una distanza.

Sostituendo nell'equazione:

\(\displaystyle R^6e^{j6\theta} + (e^{j \frac{\pi}{2}} * R^3 *e^{j 3\theta})^* = 0 \)

ossia, in definitiva:

\(\displaystyle R^6e^{j6\theta} = -R^3e^{-j(3\theta + \frac{\pi}{2})} \).

Due numeri complessi coincidono quando coincidono modulo e fase, dunque:

\(\displaystyle 6 \theta = -3 \theta - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)

ossia \(\displaystyle \theta = \frac{- \frac{\pi}{2} + 2k\pi}{9} \).

Mentre per il modulo:

\(\displaystyle R^6 = -R^3\)
ossia \(\displaystyle R^3(R^3 + 1) = 0 \) e quindi \(\displaystyle R = 0 \) e \(\displaystyle R = -1 \).

Il problema è proprio quest'ultimo valore. Mi trovo con il risultato per quanto riguarda la fase e il caso \(\displaystyle R=0 \), ma dovrei ottenere \(\displaystyle R=1 \), e invece ottengo questo risultato negativo ovviamente sbagliato. Consigli? Grazie.
Ultima modifica di CosenTheta il 10/10/2019, 09:03, modificato 1 volta in totale.
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Re: Soluzione in f. trigonom. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda gugo82 » 10/10/2019, 02:02

Ti pare che il numero $- R^3 e^(-j(3theta + pi/2)) $ sia scritto correttamente in forma esponenziale?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Soluzione in f. espon. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 14:37

Per ricondurlo alla forma \(\displaystyle z = Re^{j \theta} \), al massimo potrei portare il meno all'esponente nella parentesi, ma mi rimane comunque quel segno meno vicino al modulo: l'unica cosa che potrei fare è quello di ignorarlo, cioè di scrivere semplicemente \(\displaystyle R^6 = R^3 \) e mi troverei, ma a questo punto che ci sia quel meno o che ci sia quel più, non cambierebbe niente? Se sì, per quale motivo?
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Re: Soluzione in f. espon. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda gugo82 » 10/10/2019, 14:40

Ma no, che ingnorare… Semplicemente, tieni presente che $-1 = e^(j pi)$ e scrivi decentemente il secondo membro.
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Re: Soluzione in f. espon. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 15:16

Quindi ottengo:

\(\displaystyle -R^3 e^{-j(3 \theta + \frac{\pi}{2})} = e^{j \pi} R^3 e^{j(-3\theta - \frac{\pi}{2})}\)

e in definitiva:

\(\displaystyle R^3 e^{j(\pi - 3 \theta - \frac{\pi}{2})} = R^3 e^{j(\frac{\pi}{2} - 3 \theta)}\)

ma andando di nuovo a calcolarne la fase, ottengo

\(\displaystyle \theta = \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{9} \), invece dovrei ottenere un \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \).
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Re: Soluzione in f. espon. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda gugo82 » 10/10/2019, 16:10

Se $z = r e^(jtheta)$ hai $z^6 = r^6 e^(j 6theta)$ e $ -(j z^3)^** = e^(j pi) r^3 e^(-j (3theta + pi/2)) = r^3 e^(j(-3theta + pi/2))$ da cui il sistema $\{ (r^6 = r^3), (6theta = -3theta + pi/2 + 2k pi), (r>= 0) :}$.
Dunque $r=0$ oppure $r=1$ e $theta = pi/(18) + 2/9 k pi$ (con $k in ZZ$).

L’anomalia $pi/2$ la ottieni per $k=2$.
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Re: Soluzione in f. espon. con modulo negativo di un'equazione complessa

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 22:13

Grazie.
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