Trovare funzione analitica a partire dalla funzione parte reale.

Messaggioda 3m0o » 09/10/2019, 00:02

Trovare la funzione analitica \( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \) a partire da
\[ u(x,y)= e^x(x \cos y - y \sin y) + 2 \sin x \sinh y + x^3 -3xy^3 + y \]
Allora siccome dev'essere analitca, ergo olomorfa, deve soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann pertanto
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ; \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x} \]
Dunque abbiamo che
\[\frac{\partial u}{\partial x}=e^x(x \cos y - y \sin y + \cos y) + 2 \cos x \sinh y + 3x^2 -3y^3 \]
\[\frac{\partial u}{\partial y}=e^x(-x\sin y - \sin y - y \cos y) + 2 \sin x \cosh y -9xy^2 + 1\]

Ora integro la prima espressione per rapporto a \( y \) e ottengo
\[ e^x \int x \cos y - y \sin y + \cos y dy = e^x (x \sin y - \sin y + y \cos y+ \sin y) + C_1(x)= e^x(x \sin y + y \cos y ) + C_1(x)\]
\[ \int 2 \cos x \sinh y dy = 2 \cos x \cosh y + C_2(x)\]
\[ \int 3x^2 -3y^3dy = 3x^2y - \frac{3}{4}y^4+ C_3(x)\]
Pertanto \[ v(x,y)=e^x(x \sin y + y \cos y ) +2 \cos x \cosh y + 3x^2y - \frac{3}{4}y^4+C(x)\]
Pertanto derivando
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x(x \sin y + y \cos y + \sin y ) - 2 \sin x \cosh y + 6xy + C'(x) \]

Il problema è che mi mancano dei termini, nel senso con il segno opposto (cosa voluta dalle equazioni di CR) abbiamo i termini trigonometrici. Mi manca il termine \( 9xy^2 \) e il termine \(- 1 \), allora se quest'ultimo non è un problema da ottenere basta dire che \( C(x) = -x \), il termine \( \frac{9}{2}x^2y^2 \) non posso aggiungerlo nella costante poiché mi cambierebbe la derivata rispetto a \( y \) di \( v(x,y) \), inoltre mi avanza un termine che è \( 6xy \). Non capisco dove sbaglio, ho ricontrollato i calcoli più volte...
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Re: Trovare funzione analitica a partire dalla funzione parte reale.

Messaggioda gugo82 » 10/10/2019, 02:08

Semplicemente la tua funzione non è la parte reale di una funzione olomorfa.

Se non sbaglio, il primo addendo di $u$ è $text(Re)(ze^z)$, mentre il secondo è $text(Re)(2i cosh z)$; quindi l’unico pezzo che ti dà problemi è quello polinomiale, i.e. $x^3 - 3xy^3 + y$, ed è lì che vanno applicate le CR o altri criteri.
Scegliendo le CR, si scrive il sistema $\{(v_y = 3x^2 - 3y^3), (v_x = 9xy^2 - 1):}$, ma esso non ha soluzione: infatti, l’unica candidata dovrebbe essere una funzione del tipo $ v(x,y) = 9/2 x^2y^2 - x + C(y)$ ma si vede “a occhio” che derivandola rispetto ad $x$ non si può ottenere in alcun modo il secondo membro della prima equazione.
Oppure, altro modo: il polinomio $p(x,y) = x^3 - 3xy^3 + y$ ha $Delta p (x,y) = 6x - 18xy != 0$, quindi non è armonico e perciò non è parte reale di alcuna funzione olomorfa.


P.S.: Dal secondo modo si vede chiaramente che il testo dell’esercizio è sbagliato (probabilmente, un errore di trascrizione).
Infatti, tutto funziona sostituendo $2$ al posto di $3$ nell’esponente di $y$ nel secondo monomio di $p(x,y)$… In questo caso è abbastanza ovvio anche di quale funzione $p$ è la parte reale, ma lo lascio scoprire a te.
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Re: Trovare funzione analitica a partire dalla funzione parte reale.

Messaggioda 3m0o » 11/10/2019, 09:43

Grazie mille stavo impazzendo a cercare questa funzione!
Beh con \( y^2 \) nel secondo monomio di \(p \) al posto di \(y^3 \) abbiamo, se non ho sbagliato dei conti, \( v(x,y) \) è:
\[ v(x,y) = e^x(x\sin y+y\cos y) +2\cos x \cosh y +3x^2y - y^3 - x\]

E se non sbaglio ponendo \( z=x+iy \) abbiamo che la funzione è
\( f(z)=ze^z+2i\cosh z + z^3 -iz \)
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