Momento d'inerzia

Messaggioda vivi96 » 09/10/2019, 15:52

Buongiorno, sto studiando le matrici d'inerzia e non so come procedere riguardo un esercizio.
Ho una sbarretta di massa m e lunghezza l, che ruota con velocità angolare costante attorno ad un asse verticale ed è inclinata di un angolo teta(fisso) rispetto a quest'ultimo. Devo trovare l'energia cinetica.
La formula è $E=1/2Iw^2$

Adesso devo calcolarmi $I$ e qui mi sorgono i dubbi. So che la marice d'inerzia di una sbarretta di massa m omogenea e lunghezza l passante per un estremo è $I=1/2ml^2$
Quindi io poi lo scomporrei lungo l'asse verticale che ho chiamato $z$ e mi uscirebbe quindi un $Isen\theta$
Però invece lui mi calcola direttamente il momento d'inerzia in questo modo:
$\int_0^lm/l(rsin\theta)^2dr$

Potete aiutarmi a capire da dove esca quell'integrale? E la differenza dal metodo che applico io?
vivi96
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Re: Momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 09/10/2019, 16:06

Quello di cui ti stai occupando è un pendolo conico , di cui abbiamo parlato qualche mesetto fa , come vedi.
Le forze centrifughe, nel riferimento rotante , (perchè è nel riferimento rotante che puoi parlare di forze apparenti, le quali in realtà non esistono) crescono al crescere della distanza dall'asse di rotazione .
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Re: Momento d'inerzia

Messaggioda LucianoD » 09/10/2019, 22:04

Il momento di inerzia di un corpo omogeneo messo in rotazione per una estremità non è

\( \displaystyle I=\frac{1}{2}ml^2 \)

bensì

\( \displaystyle I=\frac{1}{3}ml^2 \)

Seconda cosa, non puoi prima calcolare il momento di inerzia del corpo come se la sua lunghezza fosse perpendicolare all'asse di rotazione e poi "aggiustare" questo valore moltiplicandolo per il seno dell'angolo di inclinazione. Le masse in rotazione non hanno lo stesso "peso" (in termini di inerzia) quando ruotano vicine o lontane dall'asse, pertanto il modo corretto di affrontare la questione è tramite il calcolo integrale.

In questo caso si può fare una semplificazione importante, ovvero considerare la lunghezza del corpo in rotazione quella della sua proiezione su un piano perpendicolare all'asse di rotazione che nel caso vale

\( \displaystyle l'=l\cdot \sin \theta \)

Calcolando il momento di inerzia in questo modo, il risultato è

\( \displaystyle I=\frac{1}{3}ml^2 \sin^2 \theta \)

che è esattamente quanto si ottiene integrando

$ \int_0^lm/l(rsin\theta)^2dr $
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Re: Momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 10/10/2019, 00:24

LucianoD ha scritto:Il momento di inerzia di un corpo omogeneo messo in rotazione per una estremità non è

\( \displaystyle I=\frac{1}{2}ml^2 \)

bensì

\( \displaystyle I=\frac{1}{3}ml^2 \)



Scusa, non si tratta di un "corpo omogeneo" qualsiasi , ma di un'asta.
LA formula \( \displaystyle I=\frac{1}{3}ml^2 \) esprime il momento di inerzia di un'asta omogenea , di massa $m$ e lunghezza $l$, e sezione costante, rispetto ad un asse passante per un estremo dell'asta e perpendicolare all'asse dell'asta stessa

In questo caso si può fare una semplificazione importante, ovvero considerare la lunghezza del corpo in rotazione quella della sua proiezione su un piano perpendicolare all'asse di rotazione .....


Non si tratta di una semplificazione, non si tratta di una proiezione su un piano perpendicolare all'asse di rotazione. LA "geometria delle masse" insegna come si deve eseguire il calcolo di $I$ nel caso di assi di riferimento ruotati , ma qui non si può scendere in certi dettagli.

@ vivi96

se la retta rispetto alla quale vuoi calcolare il momento di inerzia dell'asta passa per un estremo ma NON è perpendicolare all'asse dell'asta, devi tenere conto dell'angolo tra retta e asse dell'asta , come avevo già fatto vedere in questo messaggio .

Il motivo è che la distanza della massa elementare $dm$ dall'asse di rotazione è uguale a $xsentheta$, e quindi il suo quadrato vale : $ (xsentheta)^2 $ . Integrando $dI = dm*(xsentheta)^2 $ rispetto a $x$ , viene fuori che :

$ I = \int_0^L dI = M/Lsen^2theta [x^3/3]_0^L = 1/3M(Lsentheta)^2 $
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Re: Momento d'inerzia

Messaggioda LucianoD » 10/10/2019, 06:02

Che il "corpo omogeneo" fosse a sezione costante era sottinteso nel problema che si stava discutendo.
Per il resto, non hai fatto altro che duplicare quanto già scritto.

Vedo che non riesci a non trasportare le questioni che (solo per te) sono rimaste aperte, da un argomento a un altro, e quindi, come fatto altrove anche da altri, chiudo qui.
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Re: Momento d'inerzia

Messaggioda Shackle » 10/10/2019, 08:06

Amico, io non trasporto alcuna questione. Se leggo imprecisioni, le correggo, tutto qui. Il link che ho dato a Viva è un messaggio del 30 Agosto scorso.
Tu non mi conosci, perciò pensi a questa maniera. Non sono un bambino nè uno studentello presuntuoso.
Chiudi pure, chiudo anch’io.
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Re: Momento d'inerzia

Messaggioda Palliit » 10/10/2019, 08:21

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Si può discutere anche senza spingere il confronto nella direzione di un attacco personale.
Chiudo io.
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