buongiorno a tutti, ho un paio di dubbi su questo esercizio, potete aiutarmi?
Sia \(f(x): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) e \(f(x)=e^{-|x|}\)
a) Calcolare la trasformata di Fourier \(f(x)\)
b) Dal risultato precedente calcolare la trasformata di Fourier di:
\(g(x)=f(x)+xf(X)\)
\(h(x)= f(x)\cos{(x)}\)
Risoluzione:
a) \( \widetilde{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\)
dato che è una funzione pari:
\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+\omega^2}\)
la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato. Io ho provato a farlo per parti ma l'esponenziale mi rimane sempre (ovviamente oserei dire).
b) calcolare \(\widetilde{g}(\omega)\) è banale, basta applicare la definizione:
\(\widetilde{g}(\omega)=\widetilde{f}(\omega)+i\frac{d}{d\omega}\widetilde{f}(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+\omega^2}+i2\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\)
invece, sono bloccato per trovare \(\widetilde{h}(\omega)\), ho le soluzioni ma non le capisco.
grazie mille in anticipo