Primi esercizi svolti di meccanica quantistica (e primi dubbi)

Messaggioda matos » 08/10/2019, 09:32

Vado cercando un aiuto per MQ, abbiamo per ora fatto poche lezioni ma già mi trovo perso nei primi esempi dell'esercitatore.

Prendiamo una buca a potenziale infinito (pareti). La buca va da 0 ad a sull'asse x.

Siamo nel caso 1-D e la time indipendent schrodinger equation mi risulta essere:

$-h^2/(2m)(d^2\Psi)/(dx^2)=E\Psi$ all'interno della buca ove v(x)=0,ovviamente.

Non capisco però due fatti:

1) Perché fuori dalla buca si taglia sbrigativamente dicendo che $\Psi=0$ In teoria la TISE sarebbe:
$-h^2/(2m)(d^2\Psi)/(dx^2)=(E-V(x))\Psi(x)$

2) Il secondo dubbio verte sulla soluzione "in buca": $\Psi(x)=AsinKx+BcosKx$ non capisco da dove esca (è stata data così ma vorrei ricavarla a rigore), nel senso che le soluzioni non dovrebbero essere una combinazione di esponenziali (non capisco come si pervenga a sin e cos)?

Scusate le domande stupide ma questo primo approccio alla MQ mi ha un po' destabilizzato, spero di ingranare studiando molto :lol:
matos
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Re: Primi esercizi svolti di meccanica quantistica (e primi dubbi)

Messaggioda Nikikinki » 08/10/2019, 09:55

1) In generale una particella non può penetrare in una zona dove il potenziale è infinito, quindi lì la funzione d'onda deve essere per forza nulla. (Poi scoprirai l'effetto tunnel, anche se più rivolto a casi di buche finite)

2) Esponenziali sì, ma complessi. Quindi seni e coseni.
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Re: Primi esercizi svolti di meccanica quantistica (e primi dubbi)

Messaggioda matos » 10/10/2019, 17:29

1) Lo posso intendere come buca finita all'infinito in effetti.

2) Però non capisco, l'esponenziale complesso mi darebbe coseno se fosse: $2cosx=(e^(ikx)+(e^(-ikx))$, ma io come soluzione generale ho dei coefficienti A e B (chiamiamoli così) agli esponenziali. Quindi non posso raccogliere, come pervengo al coseno mi è un po ostico da capire :D
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Re: Primi esercizi svolti di meccanica quantistica (e primi dubbi)

Messaggioda Nikikinki » 10/10/2019, 18:36

Strano che non ti sia mai capitato prima almeno ad analisi, parliamo della formula di eulero. Comunque la soluzione è una combinazione del tipo

$a e^(ikx)+b e^(-ikx)=a(cos(kx)+i sin(kx))+b(cos(kx)-i sin(kx))=(a+b)cos(kx)+i(a-b) sin(kx)=A cos(kx) + B sin(kx)$

Anche se su quell'intervallo è ancora più facile cercare direttamente la soluzione come $\psi=A sin(kx+\delta)$
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