trasformata di Fourier

Messaggioda leomagicabula » 10/10/2019, 11:49

buongiorno a tutti, ho un paio di dubbi su questo esercizio, potete aiutarmi?

Sia \(f(x): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) e \(f(x)=e^{-|x|}\)

a) Calcolare la trasformata di Fourier \(f(x)\)
b) Dal risultato precedente calcolare la trasformata di Fourier di:
\(g(x)=f(x)+xf(X)\)
\(h(x)= f(x)\cos{(x)}\)

Risoluzione:

a) \( \widetilde{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\)

dato che è una funzione pari:

\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+\omega^2}\)

la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato. Io ho provato a farlo per parti ma l'esponenziale mi rimane sempre (ovviamente oserei dire).
b) calcolare \(\widetilde{g}(\omega)\) è banale, basta applicare la definizione:

\(\widetilde{g}(\omega)=\widetilde{f}(\omega)+i\frac{d}{d\omega}\widetilde{f}(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+\omega^2}+i2\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\)

invece, sono bloccato per trovare \(\widetilde{h}(\omega)\), ho le soluzioni ma non le capisco.

grazie mille in anticipo
leomagicabula
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Re: trasformata di Fourier

Messaggioda Exodus » 10/10/2019, 15:01

leomagicabula ha scritto:la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato.


Il coseno ha anche una forma esponenziale (dalla formula di eulero)

\(cos\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{-jx}+e^{jx} \right )\)
:wink:
Exodus
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Re: trasformata di Fourier

Messaggioda leomagicabula » 10/10/2019, 15:41

Exodus ha scritto:
leomagicabula ha scritto:la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato.


Il coseno ha anche una forma esponenziale (dalla formula di eulero)

\(cos\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{-jx}+e^{jx} \right )\)
:wink:


Lo so... non era questo il punto.

\(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=1/2\int e^{-x}(e^{-i\omega x}+e^{i\omega x})dx= 1/2\int e^{x(-i\omega-1)}+e^{x(i\omega -1)}dx=\)

a questo punto provo ad integrare:

\(=1/2[\frac{(-i\omega-1)e^{x(-i\omega -1)}}{-i\omega -1}+\frac{(i\omega +1)e^{x(i\omega-1)}}{i\omega-1}]=

1/2[\frac{(i\omega -1)e^{x(-i\omega -1)}+(-i\omega +1)e^{x(i\omega -1)}}{\omega^2+1}]\)

quindi sì, il denominatore torna ma il numeratore?
leomagicabula
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Re: trasformata di Fourier

Messaggioda Exodus » 10/10/2019, 17:57

leomagicabula ha scritto:quindi sì, il denominatore torna ma il numeratore?

:shock:

Spezza in 2 l'integrale:

\(\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x}e^{-j\omega x}dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1+j\omega \right ) }\)

\(\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x}e^{j\omega x}dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1-j\omega \right ) }\)

Adesso sommo i 2 risultati:

\(\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1+j\omega \right ) }+\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1-j\omega \right ) }=\frac{1}{1+\omega ^{2}}\)

:wink:
Exodus
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Re: trasformata di Fourier

Messaggioda pilloeffe » 10/10/2019, 19:35

Ciao leomagicabula,
leomagicabula ha scritto:la mia domanda è la seguente: l'integrale $\int_0^{+\infty} e^{-x} cos(\omega x) \text{d}x=1/(1+\omega^2) $ è un integrale notevole?

Non so bene cosa tu intenda per integrale notevole, certo è che è fra i primi che ricordo di aver risolto col procedimento dell'integrazione per parti iterata: dai un'occhiata ad esempio qui.
pilloeffe
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